线代知识总结

线代知识整理L~B制作~1~线性代数知识点总结目录第一章行列式....................................................................................................................2第一节：二阶与三阶行列式...............................................................................................2第二节：全排列及其逆序数...............................................................................................2第三节：n阶行列式的定义................................................................................................3第四节：对换.......................................................................................................................4第五节：行列式的性质.......................................................................................................5第六节行列式按行（列）展开....................................................................................6第七节克拉默法则.........................................................................................................7第二章矩阵........................................................................................................................8第一节：矩阵.......................................................................................................................8第二节：矩阵的运算...........................................................................................................8第三节：逆矩阵.................................................................................................................11第四节：矩阵分块法.........................................................................................................13第三章矩阵的初等变换与线性方程组..........................................................................15第一节：矩阵的初等变换.................................................................................................15第二节：矩阵的秩.............................................................................................................16第三节：线性方程组的解.................................................................................................18第四章向量组的线性相关性..........................................................................................19第一节：向量组及其线性组合.........................................................................................19第二节：向量组的线性相关性.........................................................................................21线代知识整理L~B制作~2~第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式1、把表达式11221221aaaa称为11122122aaaa所确定的二阶行列式，并记作11122112aaaa，即1112112212212122.aaDaaaaaa结果为一个数。同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为由数表111213212223313233aaaaaaaaa所确定的三阶行列式，记作111213212223313233aaaaaaaaa。即111213212223313233aaaaaaaaa=112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。2、利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222axaxbaxaxb设111221220aaDaa1121222baDba1112212.abDab则1122221111122122babaDxaaDaa，1112122211122122.ababDxaaDaa注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数1、全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn(或An)表示。逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大线代知识整理L~B制作~3~于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。2、计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在1,2,,1,nn前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,nn这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。第三节：n阶行列式的定义1、定义：n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积1212nppnpaaa的代数和，其中p1，p2…pn是1,2,…,n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。2、1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa也可简记为detija，其中ija为行列式D的（i，j元）。3、根据定义，有121212111212122212121nnnntpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa4、说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n阶行列式是!n项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、1212nppnpaaa的符号为1t，t的符号等于排列12,,...nppp的逆序数5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。线代知识整理L~B制作~4~5、推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa6、推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元素的乘积，副对角行列式的值等于121nn乘以其副对角线上各元素的乘积。即1212nn，1122121nnnn第四节：对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。定理2n阶行列式det()ijDa的项可以写为12121122()()(1)nnnntqqqtpppqpqpqpaaa，其中q1q2…qn是行标排列，p1p2…pn是列标排列。推论：设有n阶行列式det()ijDa，则有1212()12(1)nntqqqqqqnDaaa或12121122()()(1)nnnntqqqtpppqpqpqpDaaa或1212()12(1)nntqqqppnpDaaa（行列式三种不同表示方法）推论：在全部n阶排列中2n，奇偶排列各占一半。线代知识整理L~B制作~5~第五节：行列式的性质定义：记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa，行列式TD称为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行ijrr或列ijcc，行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行/列中所有的元素都乘以同一数()jkrk，等于用数k乘此行列式；推论1D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;推论2D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算 ijrkr把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明：行列式中行与列地位等同，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。线代知识整理L~B制作~6~第六节行列式按行（列）展开1、余子式在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM。代数余子式1ijijijAM记，叫做元素ija的代数余子式。2、引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(