2019届高考数学复习概率与统计第三讲大题考法——概率与统计课件

第三讲大题考法——概率与统计主要是通过互斥事件或相互独立事件或二项分布来考查离散型随机变量的分布列、期望的求法及应用.题型(一)离散型随机变量的期望[典例感悟][典例1](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[审题定向](二)定能力1.考查数学建模：由二项分布概率抽象为函数模型.2.考查数学运算：二项分布的概率、求导，最值的求解及均值的计算.(一)定知识主要考查概率与频率的关系、二项分布、导数的应用、数学期望、概率的意义及其应用．(三)定思路第(1)问利用定义法求概率，导数法求最值点：先根据二项分布的概念判断并求解相应概率，并用导数法求其最值点；第(2)问利用期望性质、概率的意义求解：利用离散型随机变量的期望的性质求解并根据概率的意义进行判断.[解](1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18，所以f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX400，故应该对余下的产品作检验．[典例2](2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？[审题定向](二)定能力1.考查数据分析：频数分布表中的数据、变量的期望值分析求解.2.考查数学运算：分布列的求解；数学期望的计算、最值的求解.(一)定知识主要考查频数分布表、随机变量的分布列、数学期望．(三)定思路第(1)问利用频率估计概率、由分布列的定义列分布列：利用频数分布表求出随机变量X所有可能取值的概率，然后列出分布列；第(2)问分类讨论，求期望最值，比较求解：根据题意对n进行分类讨论，分别求出Y的所有可能情况，利用(1)中分布列求数学期望，比较不同情况下Y的数学期望达到的最大值，得出n.[解](1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为：X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．[类题通法]求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型[对点训练](2018·广州模拟)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X8080≤X≤120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意P1＝P(40X80)＝1050＝15，P2＝P(80≤X≤120)＝3550＝710，P3＝P(X120)＝550＝110.所以在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率：P＝C04(1－P3)4＋C14(1－P3)3P3＝9104＋4×9103×110＝947710000＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)，由于水库年入流量总大于40，所以至少安装1台．①安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形：当40X80时，1台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40X80)＝P1＝0.2.当X≥80时，2台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝P2＋P3＝0.8.所以Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形：当40X80时，1台发电机运行，此时Y＝5000－800×2＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40X80)＝P1＝0.2.当80≤X≤120时，2台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，此时P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝P2＝0.7.当X120时，3台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X120)＝P3＝0.1.所以Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机．题型(二)回归分析与概率、统计的交汇问题主要考查统计图表的数据分析、线性回归方程的求解与应用.[典例感悟][典例1](2018·全国卷Ⅱ)右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.[审题定向](一)定知识主要考查折线图、线性回归分析及其应用．(二)定能力1.考查数据分析：折线图中数据分布情况的影响.2.考查数学运算：预测值的求解.(三)定思路第(1)问代入求值：将变量的值分别代入求解即可；第(2)问利用给出模型进行分析：可以根据回归直线情况进行分析，也可以根据估计值进行分析.[解](1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)[典例2](2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：i＝17yi＝9.32，i＝17tiyi＝40.17,i＝17yi－y－2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝i＝1nti－t－yi－y－i＝1nti－t－2i＝1nyi－y－2，回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝i＝1nti－t－yi－y－i＝1nti－t－2，a^＝y－－b^t－.[审题定向](一)定知识主要考查折线图、回归模型的拟合关系的判定与回归方程求法及其应用．(二)定能力1.考查数据分析：对折线图中的数据、参考数据作出分析.2.考查数学运算：相关系数的求解、回归方程的求解.(三)定思路第(1)问利用相关系数计算分析：利用折线图中的数据和参考数据计算相关系数r后进行判断；第(2)问利用最小二乘法求解：利用公式求b^、a^得出回归方程，然后利用方程进行估计.[解](1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t－＝4，i＝17(ti－t－)2＝28,i＝17yi－y－2＝0.55，i＝17(ti－t－)(yi－y－)＝i＝17tiyi－t－i＝17y