连续介质力学讲义

第1章绪论§1.1连续介质力学及其意义1．连续介质力学研究物质的宏观力学性质；连续介质的概念来自数学的一个连续实数系的集。连续介质包括：固体、液体、气体，在本课程中的假设为连续体。连续介质是本课程的基本假设以前：弹性体in弹性力学粘弹性体in粘弹性力学弹塑性体in弹塑性力学流体in流体力学流变体in流变力学这些均是针对某一特殊物质，建立一门特殊的力学。现在：统称为连续体，但不是将上述理论简单地加起来，而是做一般性的理论概括，在高度概括的基础上，形成理论，又指导各门具体力学理论。2．学习本课程的目的和意义连续介质力学把现实物体抽象成理论模型，把现实物体的运动抽象成理论模型的运动，利用数学和实验的方法，精确描述在外界作用下，物体的运动响应。该课程既是前述力学课程的高度概括，又具有很强的理论指导意义。具体的工程目的有：①双非线性工程问题。如：金属成型等。②复杂条件、复杂介质的本构方程。如土壤等的本构方程。③固体力学的新的学科分支。如：损伤力学（本构方程随损伤程度而变化）、生物力学等。④进入理性力学的境地。如理性连续介质力学。⑤沟通宏观与微观力学的桥梁。如断裂力学中，缺陷前沿的裂纹扩展是原子键的破坏，现在时髦的是宏观与和微观结合的损伤力学。§1.2连续介质力学中的“基元”——基本名词和术语连续介质力学以现实物体的理论模型作为研究对象，并力求使它能在本质上准确地描写客观物体的运动。为了描写运动，需要给出一些基本的名词和术语，它们构成连续介质力学的“基元”，通过一些定律、理论和公式，把这些名词和术语相互连系起来，便构成连续介质力学的理论体系。我们要力求将这些名词和术语说得准确些。第1章绪论1．物体在某一确定的瞬时，物体具有一定的几何形状，并有一定的质量。同时物体还可具有电磁、热容和变形等许多重要的性质。物体由质点组成，质点占据非常小的确定的空间，具有非常小的确定的质量。物体可以抽象成各种模型：如质点，刚体、弹塑性体、流体、颗粒体等；按几何性质还可分为质点、一维的弦和杆、二维的板壳、三维的块体等。若干个物体可以形成集合，组成系统。系统外的物体构成这个系统的环境或外界。2．质量质量是物体运动惯性的度量，对有限体或理想化的质量，它是一个有限数。质量是物体的基本属性，没有不具质量的物体。在Newton力学领域中，质量是一个可加量，即物体的总质量是其各部分质量的直接和。质量服从质量守恒定律，不能被消灭，也不能无中生有。质量可分为点质量、线分布质量、面分布质量和体分布质量。单位为kg。3．时空系时间和空间是运动物体的客观存在形式，离开空间和时间来讨论物体的存在和运动是没有意义的。空间表示物体的形状、大小和相互位置的关系；时间表示物体运动过程的顺序。标架：作为描写物体运动的基准——时空系，称为标架。位置变化是可逆的；时间变化是不可逆的。但在讨论一些理想化的可逆模型时，有时时间也理想化成可逆的。时空系之间可转换。4．运动物体状态或各种参数随时间的变化过程称为运动。物体的运动满足某些一般的规律，如质量、动量、能量和电荷等的守恒定律。5．动量动量是物体机械运动的度量。质点的线动量等于某质量和运动速度的乘积；动量是矢量，服从矢量运动规则；物体的总动量是各部分动量的矢量和。6．力物体线动量的变化率等于作用于其上的合力，力是改变物体运动的原因。根据力存在的性质，力可分为：内力和外力；根据力的作用形式，力可分为：集中力、线分布力、面力和体力等。力的单位为：N或kN.2第1章绪论7．功和能力和沿力方向位移的乘积称为功。物体的动能等于其质量和速度平方乘积的一半。功、能可互相转换。能量是纯量，服从能量守恒和转化定律，不能无中生有，也不能被消灭。8．温度和热温度是物体冷热程度的度量。当存在温度差时，将会形成热流，热流有大小和方向，随着热流的存在，热将从一个物体流向另一个物体，并以能量形式表示出来。同时物体内的受力也随之变化。9．熵熵是热力学第二定律的数学表述中引进一个态函数。熵是可加函数，系统的熵等于各部分熵的和。特性：系统的熵的变化永不小于系统由环境得到的热量与得到（或放出）此一热量时的热力学温度的比值。理性热力学把熵看成无须用其它物理量定义的“本原量”。§1.3连续介质力学研究的内容和方法1．内容连续介质力学研究连续介质（包括固体、流体、松散介质、颗粒体等）的变形和运动，也研究其破坏机理。将力学中的各个分支学科放在一起讨论，看看哪些规律是它们共有的，哪些规律互不相同，进而在统一的基础上加以研究，这是连续介质力学研究的重要内容。所以连续介质力学既可以看成各分支学科的出发点，也可看成是各学科分支的归宿。作为出发点，定给出了各分支学科的骨架；而作为归宿，它却是有血有肉，用骨架支撑起来的客观有机体。具体内容为：（不针对某一具体物性的物体）1）有限变形（变形大小不限），研究其描述；2）应力和应变增率；3）连续介质热力学；4）本构方程原理。2．方法非线性连续介质力学的基本方程含物理基本定律和材料本构方程两类：1）物理基本定律（适用于所有材料）动力学定律（牛顿定律）；3第1章绪论质量守恒定律（非相对论，牛顿力学观点）；能量守恒（热力学定律）；有限变形及连续性条件（几何方程）。2）材料本构方程不同材料具有不同特性是材料属性，这属性称为本构属性。本构属性的描述为本构方程。在本课程中，只讨论本构方程的框架（形式）。具体本构方程只有通过实验得出，本构方程包含：①应力、应变关系；②材料常数。本课程中，研究本构方程框架所应用的基本理论为：①基本连续介质热力学的内变量理论；②基于理性化公理的本构方程原理。所得到的本构方程框架具有本构方程的指导原则。非线性方面在下面两个方面反映：①有限变形—称为几何非线性。②本构方程非线性—称为物理（材料）非线性。若同时考虑以上两个方面的非线性因素，则称为双非线性问题。3．本课程的特点①普遍性；②严密性（只有一个基本假设，物理定律和公理作为依据）；③溶入于连续介质热力学；④对连续介质的本构方程作框架的理论研究。§1.4固体力学的学习、应用和研究学习是为了应用和研究，要求每一个学习固体力学的人都应能应用和研究。硕士生：加强基础知识的训练，主要是学习，但为应用和研究打下基础，并进行初步的应用和研究；博士生：进一步加强基础知识的训练，主要学习某一学科领域的前沿知识，培养应用和研究的能力。学习固体力学（材料力学、弹性力学，非线性连续介质力学）容易，但应用和研究会有很大的难度。应用和研究是分不开的，要做好应用要做到：1）．读好书（上述教材及某一领域的专业书籍），融会贯通，深入到理论的精微之处；2）．消化文献（不仅是看文献，而且要看懂），借鉴前人的应用和研究之道；3）．实践出真知，探索独到之处，开通创造之源。上述过程其实也是相互交错地进行，硕士或博士毕业也仅仅是应用和研究的开始。4第2章张量分析第2章张量分析§2.1矢量空间1．线性矢量空间设有n个矢量，它们构成一个集合,1,2,,ii=anR，其中每个矢量称为iaR的一个元素。若唯一地确定(ijij+≠aa)R的另一个元素，及（为标量）也给定ikakR内唯一确定的元素，则称R为线性（矢量）空间。R中的零元素记为，且具有.Oi⋅=OaO2．空间的维数设iα为m个标量，若能选取iα，使得10miiiα==∑a（2.1.1）且iα不全为零，则称此个矢量线性相关，否则，称为线性无关。m例1位于同一平面内的两个矢量a和（如图2.1.1）是线性无关的，即12a2a1a图2.1.1平面上两个矢量线性无关11220αα+≠aa（1α和2α可为任意值，且不全为零）。例2位于同一平面内的三个矢量，a，a是线性相关的，即总可找到1a231α,2α,3α（不全为零）使1122330ααα++=aaa如图2.1.2所示，2113αα3′′=+aaa。集合R内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设R的维数为，则记为，欧氏空间为。nnR3Rn)3．空间的基和基元素nR中任意个线性元素无关元素的全体称为的一个基。基的每个元素称为基元素，由于的个基元素是线性无关的。于是内任一个元素可表示成基元素的线性组合。设nRnRnnRr(1,2,,iin1a2a3a图2.1.2平面上三个矢量线性相关=anR为的任选的基，则有10niiiα=′≠∑a，iα′为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及iα不全等于零，使得010niiiαα=+=∑ra或者5第2章张量分析110()nniiiiiαiξα===−=∑∑raa（2.1.2）①因为iαα,00≠不全等于零，所以iξ不全等于零，且为有限值。②内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为内至多只有个元素是线性无关的。设nRnRn(1)ia及(2)ia是的两个基，则nR(1)ia中的每个基元素都可用(2)ia的线性组合来表示；反之亦然，因此，中的任两个基元之间存在唯一的变换关系。nR③对于同一个元素r，采用不同的基时，其系数iξ不同。(1)(1)(2)(2)iiiiξξ==∑∑raa（2.1.3）因为(1)ia与(2)ia间有确定的变换关系，因此，与间亦有确定的变换关系。)1(iξ)2(iξ④空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，(2.1.2)式中iξ则是矢量在基或以为坐标方向的分量值。riaia⑤空间的元素若为矢量，则基元素称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢之间存在确定的变换关系，它是坐标变换的基础。正交基：各基矢相互正交的基，称为正交基。标准正交基：基矢为单位矢量的正交基，称为标准正交基。现以欧氏空间为例，欧氏空间为三维空间。图2.1.3平面笛卡儿坐标中位矢的表示2211eerxx+=在欧氏空间内，笛卡儿坐标系为标准正交基，记作，在此坐标系内，任一矢量（位矢）为ier1223iii3xxxx==++∑reeeeie是不因坐标位置而改变的ddiiiixx=∑∂=∂rere当只一个坐标有变化时，例如有变化1x图2.1.4空间笛卡儿坐标中位矢的表示1x2x3xiixer=11ddx=re此时，1dddrx==r，因此，为单位矢量。1eie都等于1，且彼此正交，故笛卡儿坐标系的基为标准正交基。正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作ig，用iθ表示坐标值，则基矢ig定义为6第2章张量分析ddiiiiθθ∂=∂=∑rgrg①ig随坐标位置而变化.图2.1.5极坐标中位矢及其增量的表示rdϕdϕdϕ2dgϕ1dgr②1i≠g.③ig之间相互正交。因此ig是正交基，但不是标准正交基。例如：在极坐标系内[]121212ddd,dddrrθθθθϕϕ1=+===+rgrg20,1gg其中112dd,1,ddrrrϕϕ===gggC，因此，2r=g。令iH=gi（拉梅系数）及111223331111iiiHHHH====b2gbgbgbg（2.1.4）则为正交曲线坐标系的标准化正交基。ib因此，显然有10ijijijijijδ=⎧⋅=⋅==⎨≠⎩eebb（2.1.5）§2.2字母指标法1．字母标号法（标号：indexorsuffix）点位置：zyx,,（矢径）)3,2,1(,,321=→→ixxxxi矢量：u（位移）wv,,)3,2,1(,,321=→→iuuuuiv（速度）zyxvv,,)3,2,1(,,321=→→ivvvvi())3,2,1(,,,,321→→iuuuuwvui=应力（张量）：xzzxzyyzyxxyzyxττττττσσ,,,,,,,,1331322321,,,,,,,,σ12332211σσσσ→)3,2,1,(=→jiσσσσσijσ应变（张量）：xzzxzyyzyxxyzyxεεεεεεεε,,,,,,,,ε7第2章张量分析133132232112332211,,,,,,,,εεεεεεεεε→)3,2,1,(=→jiijε微分符号：)3,2,1()(,,,321=∂→∂∂→∂∂∂∂∂∂iffxfxfxfxfiii)3,2,1,(,,,,212232222212=→∂∂∂∂∂∂∂∂jifxxfxfxfxfij约定：英文字母下标表示三维指标，取值1，2