§9.6第一型曲线积分的计算

2：313222zzyx，1：10222zzyx，例3．求空间立体的形心：}2,3),,{(22222zyxzyxzyx。解：两曲面的交线为2z322222yxzyx1222zyx，3222zyxzxyozyx222133222zyxzxyozyx22213形心在轴上z，0yx。21dvdvdvV,3)536()3()2(31210dzzdzz22222331210zyxzyxdxdydzdxdydz21zdvzdvzdv22222331210zyxzyxdxdyzdzdxdyzdz35)3()2(31210dzzzdzzz83)536(53)536(351zdvVz，∴形心的坐标为（0，0，83)536(5）。二．物体的转动惯量设在上3R有n个质量为nmmm,,,21的质点组，它们的坐标分别为),,2,1(),,(nizyxiii，这个质点组绕着某一条直线l旋转，设这n个质点到直线l的距离分别是nddd,,,21，由力学可知，质点组对直线l的转动惯量为niiimdJ12当l分别是轴x，轴y，轴z时，则质点组分别对轴x，轴y，轴z的转动惯量分别为niiiixmzyJ122)(,niiiiymxzJ122)(,niiiizmyxJ122)(。设质量连续分布的物体，占有空间闭区域，密度函数为连续函数),,(zyxf，求该物体对轴x，轴y，轴z的转动惯量。同理可得dVzyxfxzJy),,()(22，dVzyxfyxJz),,()(22。),,(zyxM，取包含点M的一体积微元dV，则质量微元为dVzyxfdm),,(，点到M轴x的距离为22zy，于是点处M的质量微元关于轴x的转动惯量为dVzyxfzydJx),,()(22，从而dVzyxfzyJx),,()(22，若是平面区域D，面密度函数为),(yxf，则平面薄片对轴x、轴y的转动惯量为DxdyxfyJ),(2，DydyxfxJ),(2。例4．求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量（设密度为1）。解：取球心为坐标原点，球半径为R，轴l与z轴重合，则球体所占有的空间闭区域为,}),,{(2222Rzyxzyx所求转动惯量就是球体z对于轴的转动惯量dVyxJz)(22。为了简化计算，同时考虑球体轴对x、轴y的转动惯量dVzyJx)(22，dVxzJy)(22，由对称性可知zyxJJJ，于是)(32)(31222dVzyxJJJJzyxz.158sin32504020RdddR例5．一空心柱体由柱面422yx，922yx及平面0z，4z为界面组成，密度为，有一质量为m的质点位于坐标原点，求空心柱体对质点的引力。三．物体对质点的引力yoxz324解：设),,(zyxM为空心柱体内任一点，dV为包含点M的体积微元，dF是dV对质量为m的质点的引力，由万有引力定律得∵OMFd//，zyxOM,,，222zyxdVkmdF（k为引力常数）zyxzyxdVkmOMOMFdFd,,)(23222yoxz324dVM而},,{zyxdFdFdFdF，∴23)(222zyxdVxkmdFx，23)(222zyxdVykmdFy，23)(222zyxdVzkmdFz，xxdFF，yydFF，zzdFF，由对称性知，0yxFF，dVzyxzkmFz23)(2224022322023)(dzzzddkm).452(2mk故)}452(2,0,0{mkF.xABoyL§9.6第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的概念和性质1．曲线形物体的质量设曲线形物体在xoy平面上占有可求长曲线L，其线密度为连续函数),(yxf，求该物体的质量m。),(ii1M1iMiM1nM2M（2）近似iiis),(，则第i小段的质量iiiisfm),(。（3）求和iiinisfm),(1。（4）取极限令}{max1inisd，则),(lim10niiiidsfm。（1）分割在上L任取点列121,,nMMM，把小分为nL段),,2,1(nisi。2．第一型曲线积分的定义设L为xoy面内的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，),(yxf在L上有界。任取点列121,,nMMM，把L分为小n段),,2,1(nisi，同时也以小表示第isi段的弧长。任取iiis),(，作和式),(1niiiisf，设}{max1inisd，如果当时0d，和式的极限总存在，则称此极限为),(yxf在曲线弧L上的第一型曲线积分将上述定义推广，可得空间曲线L上的第一型曲线积分：),,(lim),,(10niiiiidLsfdszyxf。或对弧长的曲线积分，记作Ldsyxf),(，即niiiiLsfdsyxf10),(lim),(被积函数弧长元素积分弧二、第一型曲线积分的性质1．LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),()],(),([；2．)(),(),(为常数kdsyxfkdsyxkfLL；3．)(,),(),(),(2121LLLdsyxfdsyxfdsyxfLLL。简记为21),(LLLdsyxf.4..,1),(的长度等于时当LdsyxfL若L是闭曲线，则),(yxf在L上的第一型曲线积分记为Ldsyxf),(。5..),(),(,),(),(LLdsyxgdsyxfyxgyxfL则上设在.d),(d),(LLsyxfsyxf特殊地三、第一型曲线积分的计算法1．设),(yxf在曲线L上连续，L的参数方程为)(txx，)(tyy)(t，其中)(tx，)(ty在],[上有连续的一阶导数，且0)()(22tytx，则dttytxds)()(22，dttytxtytxfdsyxfL)()()](),([),(22。2．若由L方程)()(bxaxyy给出，则取为参数x，dxxyds)(12dxxyxyxfdsyxfLba)(1)](,[),(2。若由L方程)()(dycyxx给出，则取为参数y，dyyxds)(12dyyxyyxfdsyxfLdc)(1]),([),(2。3．若由L方程)(sin)(cos)()(yx或给出，则取为参数，dds)()(22dfdsyxfL)()(]sin)(,cos)([),(22。4.若空间光滑曲线的L参数方程为)(txx，)(tyy，)(tzz)(t，则dttztytxds)()()(222，dttztytxtztytxfdszyxfL)()()()](),(),([),,(222。注：（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关于参数的定积分计算时，上限必须大于下限。（2）对dsyxfL),(来说，),(yxf是定义在L上的，被积函数中的x，y应满足L的方程，故可利用L的方程化简被积函数。AB：101yx，yy，dyds，OA：100xy，0y，dxds，oxABy1x2xy0y例1．计算Ldsy，其中L为抛物线2xy，直线1及xx轴所围成的曲边三角形的整个边界。BO：102xxy，xy，dxxds241，⌒解：OBABOAL⌒dxxxdyydx1021010410).755(121)155(121320∴OAABBOLdsy⌒oxABy1x2xy0y例2．计算dsxeLyx22，其中L是从)1,0(A沿圆周122yx到)22,22(B处的一段劣弧。解法1L：21yx，122y，.)221(111222222eydyyedsxeLyx21yyxy，2211ydydyxdsy，被积函数2122yexeyx，yoxAB解法2L：txcos，tysin，24t，被积函数texeyxcos22，dtdtttds22)(cos)sin(，etdtedsxeLyx)221(cos4222。yoxAB解法3L的极坐标方程为1，24，被积函数cos22exeyx，ddds22，问：能否选x为参数？ededsxeLyx)221(cos4222。答：若选为x参数，则有L：21xy，因为y不是x的单值函数，所以必须把分L成AC和CB两段计算。⌒⌒yoxAB例3．计算dszyxL)(222，其中L为球面29222zyx与平面1zx的交线。解：L：.1,142)21(12922222xzyxzxzyx其参数方程为：.cos221,sin2,cos221zyx)20(，的L极坐标方程为2cos22a，解：dsymL。ddds2)sin2()cos2()sin2(222，∴1822929)(20222ddsdszyxLL.例4．求双纽线L：)0)(()(222222ayxayx的m质量，各点处的密度为该点处纵坐标的绝对值y。yxo443454即2cosa，.4543,44的L参数方程为2cossin2coscosayax，把在第一象限L的部分1L记为，则daaydsdsymLL2cos2cossin44401).221(4sin42420ada,2cos)2cos2sin(2cos)()(2222dadaadds例5．设L为椭圆13422yx，其周长为a，Ldsxyyx)243(22求的值。解：∵13422yx，∴124322yx，∴Ldsxyyx)243(22Ldsxy)212(LLdsxyds212L关于y轴对称，被积函数xy关于x为奇函数.12012aa（代入L的方程）解：∵2222RzyxL为球面与平面0zyx的交线，而平面0zyx通过原点，∴0zyxL为平面上半径为R的圆，其周长为R2。∵的曲线L方程对x，y，z具有轮换对称性，∴dsydsxdszLLL例6．设2222RzyxL为球面与平面0zyx的交线，求dsyzL)(2。0)(31dszyxLdszyxdszdsxdsyLLLL)(31222222LdsR2313232231RRR∴32232)(RdsydszdsyzLLL。四、第一型曲线积分的几何意义设xoyL为面上的光滑曲线，其方程为00),(zy