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n阶行列式的计算方法1.利用对角线法则“对角线法则”:(1)二、三阶行列式适用“对角线法则”;(2)二阶行列式每项含2项,三阶行列式每项含3项,每项均为不同行、不同列的元素的乘积;(3)平行于主对角线的项为正号,平行于副对角线的项为负号。例1计算二阶行列式4231=D。解:223414231−=×−×==D例2计算三阶行列式210834021−−=D。解:)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D14−=2.利用n阶行列式的定义n阶行列式==nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nnnppppppaaa⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21nppp⋯ττ=,求和式中共有!n项。显然有上三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnDλλλλλλ⋯⋱2121==另外nnnnDλλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000nDnn=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnnaaaan−−−=⋯.该项列标排列的逆序数t(n-1n-2…1n)等于(1)(2)2nn−−,故(1)(2)2(1)!.nnnDn−−=−3.利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TDD=。注由性质1知道,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。性质2交换行列式的两行(列),行列式变号。推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零。性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121112112121112111。第i行(列)乘以k,记为kri×(或kci×)。推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论2行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21221111211+++=。则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin+=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变。例4计算xaaaxaaaxDn⋯⋮⋮⋮⋯⋯=。解xaaaxaanxDnrrrn⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯111])1([)(21−+=+++axaxanx−−−+=⋯⋮⋮⋮⋯⋯0000111])1([1)]()1([−−−+=naxanx例5一个n阶行列式nijDa=的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn=−=⋯则称nD为反对称行列式,证明:奇数阶反对称行列式为零.证明:由ijjiaa=−知iiiiaa=−,即0,1,2,,iiain==⋯故行列式nD可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa−=−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由行列式的性质TDD=1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa−−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa−=−−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)nnD=−当n为奇数时,得nnDD−=,因而得0=nD。4.利用行列式按行(列)展开=+++jninjijiAaAaAa⋯2211),,2,1,(0njijijiD⋯=⎩⎨⎧≠=例6计算1314211311023351−−−−−=D。解34012113110272016−−−−=D3411127216)1(23−−−−=+5517520)1)(1(1071125020)1(22−=−−−=−−−=+5.利用化上三角形法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤:(1)观察元素11a,若不为1通过变换化为1;(这可以通过对调两行或两列实现,有时也可以把第一行或第一列乘111a来实现,但要避免元素变为分数,否则将给后面的计算增加困难。)(2)对第一行分别乘13121,,,naaa−−−⋯加到第n⋯,3,2行对应元素上去;(目的:第一列11a以下的元素全部化为零)(3)用类似的方法把主对角线元素13121,,,naaa⋯以下的元素全部化为零。这样行列式就化为上三角形行列式了,在上述变换过程中,主对角线元素),2,1(,niaii⋯=不能为零,若出现零,可通过行(列)对调使得主对角线上元素不为零。例7计算1314211311023351−−−−−=D。解1192101110160551003351−−−−−=D11103200112033515−−−−=1120320011103351)5(−−−−−=1300320011103351)5(−−−−−−=211000320011103351)5(−−−−−=55−=6.利用递推公式递推公式法:对n阶行列式nD找出nD与1−nD或nD与21,−−nnDD之间的一种关系——称为递推公式(其中,nD21,−−nnDD等结构相同),再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法。例8证明1221100001000001nnnnxxDxaaaaax−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12121,(2)nnnnnxaxaxaxan−−−=+++++≥⋯证明:将nD按第1列展开得12321100001000001nnnnxxDxxaaaaax−−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11000100(1)001nnxax+−−+−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1nnaxD−=+由此得递推公式:1nnnDaxD−=+,利用此递推公式可得112()nnnnnnDaxDaxaxD−−−=+=++212nnnaaxxD−−=++111nnnnaaxaxx−−==++++⋯⋯7.利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式范德蒙行列式111121122122211211111−−−−−−−=nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯∏≤≤−=nijjixx1)(例9计算行列式1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx−−−−−−+++=++++++⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯解把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到第3行,以此类推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n行,便得范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx≥≥−−−==−∏⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯8.利用加边法计算n阶行列式加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。例10计算n阶行列式12121212nnnnnxaaaaxaaDaaaaaxa++=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解:1100nnnaaDD=⋯⋮1211002,,1100100niaaaxinxx−=+−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第行减第1行(箭形行列式)1211000000000njnjaaaaxxxx=+=∑⋯⋯⋯⋯11njnjaxx=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑9.利用数学归纳法例11计算n阶行列式1221100001000001nnnnxxDxaaaaax−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解:用数学归纳法.当n=2时212211()xDxxaaaxa−==+++212xaxa=++假设n=k时,有12121kkkkkkDxaxaxaxa−−−=+++++⋯则当n=k+1时,把1+kD按第一列展开,得11kkkDxDa++=+1111()kkkkkxxaxaxaa−−+=+++++⋯12111kkkkkxaxaxaxa+−+=+++++⋯由此,对任意的正整数n,有12121nnnnnnDxaxaxaxa−−−=+++++⋯10.利用拆开法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以利计算。例12计算行列式nD=11212212nnnnaaaaaaaaaλλλ+++⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯解:nD=1212212nnnnaaaaaaaaaλλ++⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯1222000nnnnaaaaaλλλ+++⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯122000nnnaaaaλλ=⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯11nDλ−+1211nnaDλλλ−=+⋯……1211niniiaλλλλ=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑⋯上面介绍了计算n阶行列式的常见方法,计算行列式时,我们应当针对具体问题,把握行列式的特点,灵活选用方法。学习中多练习,多总结,由此及彼,举一反三,才能更好地掌握行列式的计算。
本文标题:n阶行列式的计算方法
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