线性规划所有类型总结(很全的)

线性规划，想说懂你很容易线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。1、目标函数形如z=ax+by型：例1（2008.全国Ⅱ）设变量xy，满足约束条件：222yxxyx，，．≥≤≥，则yxz3的最小值是（）A．2B．4C．6D．8解：画出可行域（如图1），由yxz3可得331zxy，所以3z表示直线331zxy的纵截距，由图可知当直线过点A（-2，2）时，z的最小值是-8，选D.2、目标函数形如axbyz型：例2（2007.辽宁）已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy≤，≥，≤，则yx的取值范围是（）A．]6,59[B．965，，C．36，，D．[36]，解：画出可行域（如图2），yx表示可行域内的点（x,y）与原点连线的斜率，求得A（1，6），C（29,25）,且求得KOA=6，KOC=59，所以659xy，选A.3、目标函数形如z=abx+cy型：例3.（2008.北京）若实数xy，满足1000xyxyx，，，≥≥≤则23xyz的最小值是（）A．0B．1C．3D．9图1图2图3解：画出可行域（如图3），令u=x+2y,当x=y=0时u最小为0，则23xyz的最小值是1.故选B.4.目标函数形如z=edxcbyax型：例4．已知x、y满足xyyxx12340，则132xyx的取值范围是（）A．[1,5]B．[2,6]C．[2,10]D．[3,11]解：做出可行域（如图4），因为1)1(211)1(21132xyxyxxyx，其中11xy可视作可行域内的点与点C（-1，-1）连线的斜率，且求得KCA=5，KCB=1，所以由图可知5111xy，所以11113xy选D.5.目标函数形如22)()(byaxz型：例5.已知x、y满足0,0022yxyx，求22)1()1(yxz的最大值和最小值.解：目标函数的几何意义是可行域的点（x，y）与点C（1，1）的距离（如图5），由图形易知点C与可行域内的点O（0，0）和A（2，0）的距离最大为2，而z的最小值是点C到直线022yx的距离55，所以maxz=2，minz=55变式已知x、y满足约束条件032093072yxyxyx，求z=x2+y2的最大值和最小值，解：画出可行域（如图6），z=x2+y2表示可行域内的点与原点O距离的平方，由图可知，|OA|最大，maxz=（2265）2=61,最小值为点O到直线x+2y-3=0的距离的平方，minz=（41|3|）2=59.6.目标函数形如z=|ax+by+c|型：例6.已知x、y满足0520402yxyxyx，求z=|x+2y-4|的最大值.图4图5图6解：因为55|42||42|yxyxz,所以z可看作是可行域内任意一点（x,y）到直线x+2y-4=0的距离的5倍.由图7知，点C到直线x+2y-4=0的距离最大,由05202yxyx可得C（7，9）所以zmax=|7+2×9-4|=21.7.目标函数形如z=ax2+by2型：例7.已知变量x、y满足261yxyxy，求z=4x2+y2的最值解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图8），由z=4x2+y2得1422zyzx，目标函数z的几何意义是椭圆长轴的平方，当椭圆分别经过C（4，2），B（1，2，）时z取最大值和最小值，maxz=68，minz=8.此题还可以进一步引申，求z=4x2-y2的最值。图7图8