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[收稿日期]2017G01G11; [修改日期]2017G03G02 [基金项目]安徽省重大教学改革项目(2015zdjy020);高等学校大学数学教学研究与发展中心项目(2015);唐烁名师工作室 [作者简介]宁荣健(1962-),男,副教授,从事计算数学研究和大学数学教学.Email:nrjian@126.com [通讯作者]时军(1982-),女,讲师,从事计算数学研究.Email:shijun@hfut.edu.cn第33卷第5期大 学 数 学Vol.33,№.52017年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2017n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法宁荣健, 时 军(合肥工业大学数学学院,合肥230009) [摘 要]通过引入n个积分因子,给出了n阶常系数线性微分方程y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y′+pny=f(x)的积分因子解法,并进而得到n阶欧拉方程xny(n)+p1xn-1y(n-1)++pn-1xy′+pny=f(x)的积分因子解法.该方法对任意的可积函数f(x),均可给出其通解形式,具有一定的理论研究价值和实际应用价值.[关键词]n阶常系数线性微分方程;n阶欧拉方程;积分因子;通解[中图分类号]O13;O172.2 [文献标识码]C [文章编号]1672G1454(2017)05G0044G051 问题的提出目前在高等数学教材中,介绍了二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=f(x)当f(x)=eλxPm(x)和f(x)=eλx(Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx)时的通解.对于f(x)的其它类型,以及n阶常系数线性微分方程y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y′+pny=f(x)的解法,并没有作进一步介绍.文[1]给出了n阶常系数线性微分方程的降阶解法.本文将通过寻求积分因子,给出n阶常系数线性微分方程的通解.降阶解法和积分因子解法都是通过n阶常系数线性微分方程的特征方程的根与系数关系实现的,殊途同归,均丰富了求解常系数线性微分方程的理论和方法.值得一提的是,利用积分因子解法还可以方便地得到n阶欧拉方程的通解.2 主要结论在文[2]中,讨论了对于二阶线性微分方程y″+P1(x)y′+P2(x)y=Q(x),(1)如果能存在非零二阶可微函数f1(x),f2(x),同乘(1)式两边后,将(1)转化为(f2(x)(f1(x)y)′)′=f1(x)f2(x)Q(x),就分别称f1(x),f2(x)为(1)的第一积分因子和第二积分因子,此时(1)的通解为y=1f1(x)(∫1f2(x)(f1(x)f2(x)Q(x)dx+C1)dx+C2).其中关于f1(x),f2(x)的存在性,以及存在时f1(x),f2(x)的求法参见文[1].这里将积分因子法应用到求解n阶常系数线性微分方程上来,可得n阶常系数线性微分方程的积分因子解法.定理1 设有n阶常系数线性微分方程y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y′+pny=f(x),(2)其中f(x)为可积函数,p1,p2,,pn-1,pn为常数.若r1,r2,,rn为对应齐次线性微分方程y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y′+pny=0(3)的特征根,则微分方程(2)的通解为y=eλnx(∫e(λn-1-λn)x((∫e(λ1-λ2)x(∫e-λ1xf(x)dx+C1)dx+C2))dx+Cn),其中C1,C2,,Cn为任意常数.证 记q1=λ1+p1,q2=λ21+p1λ1+p2,qk=λk1+p1λk-11+p2λk-21++pk-1λ1+pk,qn-1=λn-11+p1λn-21+a2λn-31++pn-2λ1+pn-1,ìîíïïïïïïïï则有 q1-λ1=p1,q2-λ1q1=p2,q3-λ1q2=p3,qn-1-λ1qn-2=pn-1,-λ1qn-1=pn.ìîíïïïïïïïï进而得 e-λ1x(y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y′+pny) =(e-λ1x(y(n-1)+q1y(n-2)+q2y(n-3)++qn-2y′+qn-1y))′,和 λn+p1λn-1+p2λn-2++pn-1λ+pn=(λ-λ1)(λn-1+q1λn-2+q2λn-3++qn-2λ+qn-1).同理 e-λ2x(y(n-1)+q1y(n-2)+q2y(n-3)++qn-2y′+qn-1y) =(e-λ2x(y(n-2)+r1y(n-3)+r2y(n-4)++rn-3y′+rn-2y))′,其中r1-λ2=q1,r2-λ2r1=q2,rn-2-λ2rn-3=qn-2,-λ2rn-2=qn-1,ìîíïïïïïïï 和 r1=λ2+q1,r2=λ22+q1λ2+q2,rk=λk2+q1λk-12++qk-1λ2+qk,rn-2=λn-22+q1λn-32++qn-3λ2+qn-2,ìîíïïïïïïïï并且 λn-1+q1λn-2+q2λn-3++qn-2λ+qn-1=(λ-λ2)(λn-2+r1λn-3+r2λn-3++rn-3λ+rn-2).由上可知 e-λ1x(y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y′+pny)=(e(λ2-λ1)x(e-λ2x(y(n-2)+r1y(n-3)+r2y(n-4)++rn-3y′+rn-2y))′)′.以此类推,有 e-λ1x(y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y′+pny)=(e(λ2-λ1)x(e(λ3-λ2)x((e(λn-λn-1)x(e-λnxy)′)′)′)′)′.从而(e(λ2-λ1)x(e(λ3-λ2)x((e(λn-λn-1)x(e-λnxy)′)′)′)′)′=e-λ1xf(x),故微分方程(2)的通解为y=eλnx(∫e(λn-1-λn)x((∫e(λ1-λ2)x(∫e-λ1xf(x)dx+C1)dx+C2))dx+Cn),(4)其中C1,C2,,Cn为任意常数.54第5期 宁荣健,等:n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法在定理1中,分别称e-λnx,e(λn-λn-1)x,,e(λ3-λ2)x,e(λ2-λ1)x为微分方程(1)第一积分因子,第二积分因子,,第n积分因子.例1 求微分方程y″+3y′+2y=sin(ex)的通解.解 对应齐次线性微分方程的特征方程为λ2+3λ+2=0,解得λ1=-2,λ2=-1,由(4)可得所求通解为y=e-x(∫e-x(∫e2xsin(ex)dx+C1)dx+C2)=e-x(∫ex(-excos(ex)+sin(ex)+C1)dx+C2)=e-x(∫(cos(ex)+exsin(ex)+C1ex)dx+C2)=-e-2xsin(ex)-C1e-2x+C2e-x,其中C1,C2为任意常数.例2 求微分方程y‴+3y″+3y′+y=1x-3x2+6x3-6x4的通解.解 由于特征方程为λ3+3λ2+3λ+1=0,解得λ1=λ2=λ3=-1,所以所求通解为y=e-x(∫(∫(∫ex(1x-3x2+6x3-6x4)dx+C1)dx+C2)+C3)=e-x(∫(∫((1x-2x2+2x3)ex+C1)dx+C2)+C3)=e-x(∫((1x-1x2)ex+C1x+C2)+C3)=e-x(1xex+12C1x2+C2x+C3)=1x+12C1x2e-x+C2xe-x+C3e-x,其中C1,C2,C3为任意常数.推论1 在定理1中,若令f(x)=0,则对应齐次线性微分方程(3)的通解为y=eλnx(∫e(λn-1-λn)x((C1∫e(λ1-λ2)xdx+C2))dx+Cn).(5)当n=2时,(5)为y=eλ2x(C1∫e(λ1-λ2)xdx+C2).此结论与教材中二阶常系数齐次线性微分方程通解的三种形式完全一致.推论2 在定理1中,若令C1=C2==Cn=0,则微分方程(2)的一个特解为y∗=eλnx(∫e(λn-1-λn)x((∫e(λ1-λ2)x(∫e-λ1xf(x)dx)dx))dx).(6) 当n=2时,(6)为y∗=eλ2x∫e(λ1-λ2)x(∫e-λ1xf(x)dx)dx.(7) 此结论比教材中二阶常系数非齐次线性微分方程当f(x)=eλxPm(x)和f(x)=eλx(Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx)时的两种类型特解形式更具一般性.由推论1和推论2知,微分方程(2)的通解(4)为对应齐次线性微分方程(3)的通解(5)与微分方程(2)的一个特解(6)之和,这与线性微分方程解的结构完全吻合.例3 求微分方程y″-4y′+4y=e2xtanxsecx的一个特解.解 不难得到特征根为λ1=λ2=2.由(7)可得该方程的一个特解为y∗=e2x∫(∫e-2xe2xtanxsecxdx)dx=e2x∫(∫tanxsecxdx)dx=e2x∫secxdx=e2xln|secx+tanx|.例4 分别求微分方程y‴+y″+y′+y=cosx和y‴+y″+y′+y=sinx的通解.解 由于它们对应的齐次线性微分方程均为y‴+y″+y′+y=0,其特征方程为λ3+λ2+λ+1=0,解得λ1=-1,λ2=i,λ3=-i.故y‴+y″+y′+y=0的通解为y=e-ix(∫e2ix(C1∫e-(1+i)xdx+C2)dx+C3)=12C1e-x+12iC2eix+C3e-ix.64大 学 数 学 第33卷利用欧拉公式,并考虑到C1,C2,C3为任意常数,可知上式等同于y=C1e-x+C2cosx+C3sinx.此与根据[3]中第294页上n阶常系数齐次线性微分方程的通解构造理论所得结论完全一样.为计算方便,考虑微分方程y‴+y″+y′+y=cosx+isinx,即y‴+y″+y′+y=eix.利用(6)知其一个特解为 e-ix(∫e2ix(∫e-(1+i)x(∫exeixdx)dx)dx)=e-ix(∫e2ix(∫e-(1+i)x(11+ie(1+i)x)dx)dx)=11+ie-ix∫xe2ixdx=11+ie-ix(12ix+14)e2ix=12i(1+i)xeix+14(1+i)eix.由于14(1+i)eix为y‴+y″+y′+y=0的解,故可取y‴+y″+y′+y=eix的一个特解为y∗=12i(1+i)xeix=-14x(cosx-sinx)-14ix(cosx+sinx).由线性微分方程的叠加原理,得y‴+y″+y′+y=cosx一个特解为y∗1=-14x(cosx-sinx),y‴+y″+y′+y=sinx一个特解为y∗2=-14x(cosx+sinx),所以y‴+y″+y′+y=cosx的通解为y=C1e-x+C2cosx+C3sinx-14x(cosx-sinx),y‴+y″+y′+y=sinx的通解为y=C1e-x+C2cosx+C3sinx-14x(cosx+sinx),其中C1,C2,C3为任意常数.将此积分因子的解法还可运用到求解欧拉方程上去.定理2 设有n阶欧拉方程xny(n)+p1xn-1y(n-1)++pn-1xy′+pny=f(x),(8)其中f(x)为可积函数,p1,p2,,pn为常数.若r1,r2,,rn为方程r(r-1)(r-2)(r-n+1)+p1r(r-1)(r-n+2)++pn-1r+pn=0(9)的根,则微分方程(8)的通解为y=xrn(∫xrn-1-rn-1((∫xr1-r2-1(∫x-r1-1f(x)dx+C1)dx+C2))dx+Cn),(10)其中C1,C2,,Cn为任意常数.证 先将(8)改写为xndnydxn+p1xn-
本文标题:n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法
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