第四章-刚塑性有限元法

第四章刚塑性有限元法哈尔滨工业大学（威海）材料科学与工程学院王刚思考题•1写出刚塑性有限元的边值问题。•2马尔科夫变分原理和广义变分原理•3简述刚塑性有限元的种类。•4比较Lagrange乘子法和罚函数法对计算方面的影响。•5简述摩擦力计算模型（公式）及适用范围•6.什么是刚性区，如何对其进行处理？•7.刚塑性有限元有什么缺点？主要内容•4-1概述•4-2刚塑性材料的变分原理•4-3刚塑性可压缩材料的变分原理•4-4刚粘塑性材料的变分原理•4-5塑性边界条件及其泛函•4-6刚性区的处理•4-1概述•刚塑性有限元法采用Levy-Mises率方程和Mises屈服准则，求解未知量为节点位移速度。它通过在离散空间对速度的积分来解决几何非线性。•材料模型有刚塑性硬化材料和刚粘塑性材料。•刚塑性硬化材料所对应的有限元法即刚塑性有限元法，它适用于冷、温态体积成形问题。•刚粘性材料对应的则是刚粘塑性有限元法，它适于热态体积成形和板料成形工艺，并且可以进行变形过程中变形与传热的耦合分析。•刚（粘）塑性有限元法不能进行卸载分析，无法得到残余应力、变形及回弹，此外刚性区的应力计算等亦有一定误差。刚塑性有限元法的种类•刚（粘）塑性有限元法是建立在刚（粘）塑性材料材料变分原理基础上的，其方法主要三种：•Kobayashi等提出的，建立在不完全广义变分原理基础上的Lagrange乘子法；•小坂田等人提出的，建立在可压缩性材料基础上的刚塑性有限元法；•由Zienkiewicz（监凯维奇）等提出的罚函数法。刚塑性材料•满足以下假设：•1不计材料的弹性变形；•2材料的变形流动服从levy-mises流动法则；•3材料是均质各向同性体；•4材料满足体积不可压缩性；•5不计体积力和惯性力•6加载条件（加载面）给出刚性区与塑性区的界限。4-2刚塑性材料的变分原理•刚塑性材料的变分原理是刚塑性有限元法的理论基础。•概括起来，变分原理以能量积分形式把塑性偏微分方程组的求解问题变成了泛函极值问题。通过这种形式转换，建立了有限元法的基本方程。•泛函和自变函数的“微分”称为变分。•变分运算的方法和微分相同。•用函数作自变量以积分形式定义的函数称为泛函（Functional），自变量称为自变函数。一、刚塑性材料的边值问题•塑性变形问题是一个边值问题，可以描述如下：设一刚塑性体，体积为V，表面积为S，在表面力作用下整个变形体处于塑性状态，表面分为和两部分，其中上给定表面力,上给定速度(如图所示)。该问题称之为刚塑性边值问题，它由以下塑性方程和边界条件定义，即ippSuSpSuSxyzo刚性体塑性体SPPiSuuioipoiu•1.平衡微分方程（4-1）•2.几何方程(4-2)•3.本构关系(4-3)•(4-4)•4.Mises屈服条件(4-5)•5.体积不可压缩条件(4-6)•6.边界条件：包括应力边界和速度边界条件(4-7)•(4-8),0ijj,,1()2ijijjiuu'32ijij212ijijk0ijijvijijpn0iiuupSSuSS二、理想刚塑性材料的变分原理•称为马可夫变分原理(MarkovPrinciple)，表述如下：对于刚塑性边值问题，在满足变形几何方程(4-2)、体积不可压缩条件（4-5）和边界位移速度条件式(4-8)的一切运动容许速度场中，使泛函•(4-9)•取驻值(即一阶变分)的为本问题的精确解。•Markov变分原理式(4-9)是塑性力学极限分析中上限定理的另一种表达形式。它的物理意义是刚塑性变形体的总能耗率，泛函的第一项表示变形工件内部的塑性变形功率，第二项则代表工件表面的外力功率。VSiipdSupdV**0*iu三、刚塑性材料不完全广义变分原理•Markov变分原理的意义在于：将(4-1)～(4-8)式所描述的刚塑性材料边值问题归结为能量泛函对位移速度场的极值问题，避开了偏微分方程组的求解困难，一旦求得速度场的精确解后，利用几何方程(4-2)可求出应变率场，然后再由本构关系(4-3)进一步确定出变形体瞬时的应力场。•变分原理为塑性加工问题的求解指出了一条途径，即在运动容许速度场中设法找出能使总能耗率泛函取最小值的速度场，因而如何正确的构造容许速度场，成为求解过程的关键问题。iuijij*iu不完全和完全广义变分原理•对一般的刚塑性材料，运动容许速度场须满足速度边界条件、几何方程和体积不变条件，把这些限制条件作为约束条件引入总能耗率泛函，则可使上述约束条件在对泛函求变分的过程中得到满足，从而使初始速度场的设定容易得多。引入约束条件后，变分原理的表述要有相应的变化，统称为广义变分原理。根据引入部分或全部约束条件，又分为不完全广义变分原理和完全广义变分原理。完全广义变分原理:***,,01()2()puiiijijijjiVSVViiiVSdVpudSuudVdVdS1.Lagrange乘子法•刚塑性有限元法中的Lagrange乘子法的数学基础是数学分析中多元函数的条件极值理论，若求目标函数•在约束函数•的条件下的极值，可构造如下修正函数•并令其一阶偏导数为零而得到，即•这里称为Lagrange乘子，数值待定。共有（m+n）个方程，恰好可解出和共（m+n）个未知数。),,,(121nnuuuumiuuuggnii,2,1,0),,(21),,(),,(2121niiinuuuguuuF01,2,01,2,iiFinuFimim,,21nuuu,,21•把上述方法用于Markov变分原理，即把体积不可压缩条件（4-5）式用Lagrange乘子引入泛函式（4-9），构造的新泛函如下：•(4-11)•同理，对于一切满足几何方程和位移速度边界条件的容许速度场，其精确解使式（4-11）取极值，即满足•新泛函取得真实解时对应的拉格朗日乘子等于静水压力1pviiVVSdVdVpudSVVSiiijijijijVpdSupdVdVdV01m2.罚函数法•罚函数法的基本思想是用一个足够大的正数把体积不可压缩条件引入泛函式(4-9)，构造出一个新泛函，即•(4-14)•则对于一切满足几何方程和位移速度边界条件的容许速度场，其真实解使式(4-14)取极值，即满足•(4-15)•它的作用原理是，当速度场远离真实解时，惩罚项值很大，相当于对速度解违反约束条件施加一种“惩罚”作用；而随着接近真解，罚项的作用也随之减弱。•当速度场为真实解时，Lagrange乘子法与罚函数法的泛函驻值点应相同，即dSupdVdViSiVvVp22202dSupdVdViSivVvVp212罚函数法•实践表明，的取值大小对解有很大的影响。若取值太小，则体积不可压缩条件施加不当，以至降低计算精度；若取值过大，则有限元刚度方程会出现病态，甚至不能求解。因此，取值应适宜。•罚函数中静水压力为：•罚函数泛函中罚项的被积函数采用形式，它要求在域内处处满足体积不可压缩条件，才能保证惩罚项总值很小，过于严格。可通过适当放松约束条件处理。•目前常用的方法有简化积分法和修正罚函数法2v2vvm（1）简化积分法•所谓简化积分法，即减少罚项在数值积分时的高斯积分点数。具体做法是将多点高斯积分(如平面问题2×2点，三维问题2×2×2点)简化为单元形心一点处的积分运算，亦即只要求单元形心点很小，而对其它点不做要求。•对于平面问题简化积分值与积分原值相同。所以，这种简化积分反映了单元内部体积变化的平均效应，即只需单元整体满足体积不可压缩条件就可。但是对于轴对称问题二者不相等。尽管如此，简化积分法仍可以用于轴对称问题。2vVdV（2）修正罚函数法•该方法是通过对罚项构造形式的修改，来达到放松约束的目的。修改后罚项的泛函表示为•式中的第二项即为修改后的罚项，它的直观意义是要求单元体积变化的平均值很小。因此，尽管修正的罚项与前者在形式上不同，但它们的内涵是类似的。•同理，对于泛函上式，若取真实解时，静水压力为•实际应用时，两种放松约束的方法都能达到同样的目的。对于修正罚函数法，各体积积分运算在同一数值积分格式下进行，所以程序可适当简化。而对于简化积分法，由于减少了积分点，因而降低了运算次数，提高了计算效率。dSupdVVdViSiVVVp23][2dVVVvm4-3刚塑性可压缩材料的变分原理•拉格朗日乘子法和罚函数法都是在马尔科夫变分原理的基础上，着重于数学方面来引入体积不可压缩约束条件，以解决容许场不宜满足体积不可压缩条件和由材料模型假定等带来的应力计算问题。•体积不可压缩必然导出屈服与静水压力无关的结论，因而，同一种塑性变形状态可由同一应力偏量叠加上不同静水应力形成的多种不同的应力状态所对应，反映在刚塑性有限元中则不能由应变速率直接求出应力场。•可压缩法则从改变材料模型入手，放松体积不可压缩条件，认为材料体积可少许压缩，亦即刚塑性可压缩材料假设。这就为解决上述问题提供了另外一条途径。4-3刚塑性可压缩材料的变分原理•一、刚塑性可压缩材料的边值问题•改变的方程有：•1.本构关系•2.屈服条件•二、变分原理•对于刚塑性可压缩边值问题，在满足几何方程、速度边界条件的一切容许速度场•取驻值，即•优点是可以直接由应变速率场计算出应力场，因而计算过程得到一定程度的简化。32ijij13mmgYiu4piiVSdVpudS40piiVSdVpudS12212232213ijijmijijvgg三、体积不可压缩约束处理方法的比较•1.对计算方面的影响•（1）Lagrange乘子法引入附加未知数(λ)，使有限元刚度方程数(未知量)及刚度矩阵的半带宽增大。如对于二维四结点单元，当单元数较大时，单元数与结点数相近，从而使未知量增加近50%。所以，同样问题会大大增加计算时间。•（2）三种方法有限元刚度矩阵都是对称的、稀疏的，但Lagrange法的刚阵非零元素分布形态不呈带状，罚函数法为明显带状分布。故Lagrange法会增加计算机贮存空间，降低计算效率。•（3）Lagrange法中的具有明确的物理意义，即。对于罚函数法，只有当罚因子取无穷大时才能满足体积不可压缩条件，得出正确的静水压力值，而实际计算时，只能取有限值。因此，Lagrange乘子法计算精度高些。•（4）罚函数法和可压缩特性法对初始速度场都比较严格。m•2.应用情况•（1）Lagrange乘子法在刚塑性有限元发展初期有较多应用，由于这种方法本身的缺点，目前不多为人们所用。罚函数由于简洁的特点，随着初始速度自动生成算法的不断完善，应用十分广泛。•（2）可压缩特性法由于采用可压缩材料模型，有一些独到之处，如模似分析金属材料密度变化。因而它较多用于粉末冶金中多孔材料的成形、钢坯轧制及大锻件钢锭开坯等工艺分析。4-4刚粘塑性材料的变分原理•刚粘塑性边值问题可以叙述如下：设在准静态变形的某一阶段，变形体的形状、内部温度及材料参数等的瞬时值已确定。如该变形体的体积为V，表面为S，S分为和两部分，并且和上分别给定了应力边界条件和位移速度边界条件。此时，变形体处于粘塑性状态。•刚粘塑性边值问题的描述方程和条件与刚塑性问题的方程相同，即(4-1)～(4-8)式。应注意的是材料模型的不同，此处为•，因此，可以认为刚塑性是刚粘塑性的特例。•Hill提出了解上述问题的刚粘塑性变分原理，叙述如下：•对于刚粘塑性边值问题，在满足几何方程、体积不可压