向量组的秩

金融数学教研室第三章线性方程组12,,,rjjj向量组的秩1.极大无关组若向量组中，有一个含12,,,n个向量的部分组线性无关，而任意个向量构成的部分组均线性相关，r1r则称为向量组的一个极大线性12,,,rjjj无关组．简称极大无关组．定义:例如向量组12(0,1),(1,0),(0,2),３21,显然是它的一个极大无关组．注：1.极大无关组不一定惟一2.5.无关时，s21,,,极大无关组就是本身极大无关组两要素：无关，不敢往上添例：12(0,1),(1,0),(0,2),３21,也是一个极大无关组.2,３存在性：关组非零向量组都有极大无4.3.向量组的所有极大无关组所含向量个数相同是一个极大无关组,极大无关组的等价定义定义设向量组是向量组的一个部分组，且满足：12,,,n12,,,rjjj(i)向量组线性无关；12,,,rjjj12,,,n(ii)向量组的任一向量都能由向量组线性表示。12,,,rjjj那么向量组便是向量组的一个极大无关组.12,,,n12,,,rjjj1.价极大无关组与向量组等2.关组都等价向量组的任意两极大无由定理可知：3.向量组的所有极大无关组所含向量个数相同定理等价的无关向量组所含向量个数相同。2、向量组的秩定义1向量组的极大无关组所含向量12,,,m的个数，称为该向量组的秩，记作12{,,,}.mR规定：零向量组的秩为0.定理1若一向量组的秩为r,则该向量组中的任意r+1个向量都线性相关.推论若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.定理2若向量组12,,,s可由12,,,m线性表示，则1212{,,,}{,,,}.smRR推论等价的向量组的秩相同.定理3对任意向量组，有12,,,m注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.1212{,,,}(,,,).mmRR12s,,,()RAr⑴．以为列构造矩阵求向量组的秩和极大无关组的方法AA初等行变换⑶．在阶梯形矩阵中找出每行左数第一个非零元所在的列向量，这些列向量对应的原向量就是极大无关组．⑵．阶梯形2例123(1,1,0,0),(1,2,1,-1),(0,1,1,-1),求45(1,3,2,1),(2,6,4,1).的极大无关组及秩解110121213601124011111101201124000350000012345(,,,,)3R且是一个极大无关组.124,,12345()TTTTTA12s,,,()rAr⑴．以为列构造矩阵求向量组的秩和极大无关组的方法（续）AA初等行变换⑶．在阶梯形矩阵中找出每行左数第一个非零元所在的列向量，这些列向量对应的原向量就是极大无关组．⑷．化阶梯形为行最简形，将所有的非单位列向量用单位列向量线性表示即可．若要将其余向量用极大无关组线性表示，则接第⑶步往下进行:⑵．阶梯形2例（续）123(1,1,0,0),(1,2,1,-1),(0,1,1,-1),求45(1,3,2,1),(2,6,4,1).的极大无关组及秩解110121213601124011111101201124000350000012345(,,,,)3R且是一个极大无关组.124,,12345()TTTTTA并用极大无关组表示其余向量1101201124000350000011010320110350001300000312，512451233312345123453例证明:若向量组与向量组12s,,,12,,,t等价,则12s12(,,,)(,,,)tRR证：设向量组与向量组12s,,,12,,,t的极大无关组分别为121212jjjjj,,,,,,,rrj与由极大无关组与向量组本身等价，及等价关系的传递性知，121212jjjjj,,,,,,rrj与等价，而它们又是线性无关的向量组，故12rr证毕！等价的向量组秩相等小结理解极大无关组和向量组秩的定义掌握极大无关组和向量组秩的求法课堂练习：求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.①1234(1,1,3,1)(1,1,1,3)(5,2,8,9)(1,3,1,7)②12345(1,1,2,3)(1,1,1,1)(1,3,3,5)(4,2,5,6)(3,1,5,7)解①123411511123()31811397TTTT310127012200000000所以是一个极大无关组，且12,31241237,222解②123451114311321()2135531567TTTTT10212011310000000000所以是一个极大无关组，且12,3124125122,32