信号与线性系统题解--阎鸿森-第五章

信号与线性系统题解阎鸿森第五章习题答案1.对下面离散时间周期信号，确定其离散时间傅立叶级数的系数kA。(a))72sin()32cos()(nnnx(b)nnx21)(,,32n且)(nx以6为周期。(c))4sin(1)(nnx,,30n且)(nx以4为周期。(d))4sin(1)(nnx,,110n且)(nx以12为周期。(e))(nx如图P5.1(a)所示。(f))(nx如图P5.1(b)所示。(g))(nx如图P5.1(c)所示。(h))(nx如图P5.1(d)所示。（a）(b)(c)(d)解：(a)njnjnjnjeejeenx727232322121)(,N=21njnjnjnjeejee32123212721272122121若取200k，则有：0;21;21;21;2131837147kajaajaaaa其余(b)323211323211461216126nkjekjknjnkeeeakj=2121113236kjke,(50k)(c))(2114sin1][44njnjeejnnx,(30n)80)21(280)21(2802818141nknjnknjnknjkejejea=)21(2)21(2)21(2)21(222118111811141kjkjkjkjkjkjeejeejee=22cos22221114122keekjkj即：,423)21(4110a),2cos21()1(411kakk3,2,1k(d)110)23(6110)23(61106241241121nknjnknjnknjkejejea=)23(6)23(2)23(6)23(262112411124111121kjkjkjkjkjkjeejeejee=26cos222611112162keekjkj即：1221122226110a,3cos16cos212126cos22121kkkak111k(e)503345033116161][61nkjkjnknjknjkeeeenxa=kkekj6sin32sin61251k;320a(f)223233323]212[61][61nnkjkjkjkjknjkeeeeenxa=kk32cos313cos3261,50k(g)225452525452]22[51][51nkjkkjkjknjkeeeeenxa=-)54sin252(sin52kkj,(40k)(h))221(61][61332503kjkjnknjkeeenxa,50k2.已知周期为8的离散时间信号具有如下傅立叶技术系数，试确定信号)(nx。(a))43sin()4cos(kkAk(b)kA如图P5.2(a)所示。(b)7,060),3sin(kkkAk(d)kA如图P5.2(b)所示。(a)（b）解：(a)kjkjkjkjkejejeea84844421212121,8N]4[4]3[4]1[4]1[4][njnjnnnx,43nrrnxnx]8[][,即为所求周期信号。(b)]3[41]3[41]2[21]2[21]1[]1[][2kkkkkkkak,43cos212cos4cos22][434nnneanxkknjk(70n)x[n]=rrnx]8[即为所求周期信号。(c)]3[21]3[21]2[]2[]1[23]1[23][2kkkkkkkak,43cos212cos4cos22][434nnneanxkknjk70nrrnxnx]8[][即为所求周期信号。(d)]4[]3[]3[]1[]1[][kkkkkkak,(43k),43cos2)1(4cos21][434nneanxnkknjk(70n)rrnxnx]8[][即为所求周期信号。3.如图x(n)是以N为周期的实信号，其傅立叶级数系数为kkkjbaA，其中kkba和均为实数。(a)(b)(a)证明*kkAA＝。进而推出ka与ka，kb与kb之间的关系。(b)证明当N为偶数时，2NA是实数，2NA是实数，22NNaA。(c)证明x(n)能够表示为三角函数形式的傅立叶级数，即N为奇数时2)1(10)]2sin()2cos([2)(NkkkNknbNknaanxN为偶数时12120)]2sin()2cos([2])1([)(NkkkNnNknbNknaaanx(d)若kjkkeAA，其中kkAA,k是kA的相角，证明三角函数形式的傅立叶级数也可以表示为如下形式：N为奇数时：2)1(10)2cos(2)(NkkkNknAanxN为偶数时：12120)]2cos([2])1([)(NkkkNnNknAaanx(e)如果P5.3所示信号x(n)和y(n)的三角函数形式傅立叶级数为：810)]72sin()72cos([2)(kkkknbknaanx810)]72sin()72cos([2)(kkkknfkndbny试画出z(n)的图形8100)]72sin()()72cos([2)()(kkkkknbfknddanz解：(a)x[n]是实信号，][][*nxnx而nNjkNkkeanx210*][*][*210nxeanNjkNkk＝nNjkNkkeanx210][**kkaa或写为kkaa*令kkkjcba，则有kkkjcba，从而有kkbb，kkcc(b)当N为偶数时，2N为一整数。10222][1NnNNjNenxNa1010][)1(1][1NnnNnjnxNenxN显然，2Na是一个实数。(c)设kkkjcba,由傅立叶级数综合公式有。102102)(][NknNjkkkNknNjkkejcbeanx当N为奇数时，上式可写为：)(][)(22)1(120nkNNjkNNknNjkkeaaanx)*()(22)1(120nkNNjkNknNjkkeaaa＝))2sin(2cos(22)1(10knNcknNbakNkk当N为偶数时，相应有)()1(][)(212)(1220nkNNjkNNknNjkknNeaaaanx－＝)*()1()(212)(1220nkNNjkNknNjkknNeaaaa－＝))2sin(2cos(2)1(12)(120knNcknNbaakNkknN(d)由(c)知，当kjkkeAa时，有N为奇数时：}Re{2][2)1(120NknNjkkaanx＝)2cos((22)1(10NkKkknNAaN为偶数时：}Re{2)1(][12)(1220NknNjkknNaaanx12)(120)2cos(2)1(NkkknNknNAaa(e)8100)]72sin()()72cos([2)()(kkkkkncfknddany81072cos2]}[{kkknbanx8172sin2]}[{kkdkncnx81072cos2]}[{kkknddnz8172sin2]}[{kkdknfnz]}[{]}[{]}[{2)(00nznxnzdanyddv而;1,100da]},[{nzd]}[{nz，]}[{nxd分别如图PS5.3-1所示，因此y[n]如图PS5.3-2所示。PS5.3-1PS5.3-24.已知x(n)是以N为周期得序列，其傅立叶级数表示式为NkNknjkeAnx2)(,试用kA表示下列信号得傅立叶级数系数(a))(0nnx(b))1()(nxnx(c))(*nx(d))()1(nxN设N为偶数(e))()1(nxN(假定N为奇数，此时该信号得周期为2N).(f)n0m),()()(，其他得倍数为nmnxnxm解：(a)NnnNjkkennxNa20][1ˆ0222][1nNjkkNmnNjkmNjkeaeemxN(b)NjkkkNnnNjkkeaaenxnxNa22])1[][(1ˆ(c)**]][[1][*1ˆ22kNnnNjkNnnNjkkaenxNenxNa(d))2(2)2(2]][[1][)1(1ˆNkNnnNNkjNnnNjknkaenxNenxNa(k=0,1,2,……..N-1)(e)NnnjnNjkNnnNjknkeenxNenxNa22][21][)1(21ˆ]][][[211012)2(2)2(2NnNNnNknNjNknNjenxenxN]][][[211010)()2(2)2(2NnNnNkjNknNjNknNjeeNnxenxN)1(21)(2)(NkjNkea为偶数，为奇数，k0k2)(Nka(f)][nxm是以mN为周期的序列，nmNjkmNnmkenxmNa2)(][1ˆ＝nmNjkmNnemnxmN2]/[1＝)1,2,1,0(,1][12mNkamerxmNkmrmNjkrn5.(a)如果x(n)和y(n)都是以N为周期的，它们的傅立叶级数系数分别为kkBA和，试推倒离散时间傅立叶级数的调制特性。即证明NkknNjkeCnynx)2()()(，其中lNkNklklklkBABAC(b)利用调制特性求下列信号的傅立叶级数表达式，其中x(n)的傅立叶级数系数的kA。1．)6cos(][Nnnx2.KKNnnx)(][(c)如果)3cos(][nnx，y(n)的周期为12，且84,03,1][nnny求x(n)y(n)的傅立叶级数表达式。解：a.nNjkNklklNleba2)(nNjkNklkNlleba2)(=nNjlnNjmNlmNmleeba22=nNjmNlmNmnNjlebea22=x[n]y[n]x[n]y[n]=Nk