信号与线性系统题解--阎鸿森-第六章

信号与线性系统题解阎鸿森第六章习题答案1.用定义计算下列信号的拉氏变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。(a)(),0ateuta(b)(),0atteuta(c)(),0ateuta(d)[cos()]()ctut(e)[cos()]()ctut(f)[sin()](),0atcetuta(g)(),batba和为实数(h)23,0(),0ttetxtet解：(a)1,Re{}sasa，见图(a)(b)21,Re{}()sasa,见图(a)(c)1,Re{}sasa,见图(b)(d)22,Re{}cssas,见图(c)(e)22cossin,Re{}0ccsss,见图(d)(f)22,Re{}()ccsaas,见图(e)(g)21||sbaea,整个s平面(h)11,2Re{}332sss,见图(f)ja0(a)j0a(b)j0(c)j0(d)aj(e)23j(f)2.用定义计算图P6.2所示各信号的拉氏变换式。X(t)1Tt0(a)12X(t)123t(b)Tt1X(t)(c)1TtX(t)0(d)1T/2tX(t)T(e)0X(t)tsint(f)解：(a)0222sin111sin[()()]111stsTststedtetututedtesss01(1)TstsTedtes(b)123012223232121(1)()()1(1)stststssssssssedtedtedteeeeessseees(c)20111(1)TstsTsTtedteeTsTs(d)0221(1)11111(1)(1)(1)TstsTsTsTsTtedtTeeeesTsssTs(e)2222221212()(1)[(1)]sTsTsTsXseeeesTssTs(f)s0222sin111sin[()()]111stsTststedtetututedtesss3.对图P6.3所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。(a)x(t)的傅立叶变换存在。(b)2()txte的傅立叶变换存在(c)()0,0xtt(d)()0,5xtt解：(a)x(t)的傅立叶变换存在，则js应在()Xs的收敛域内图(a)1Re{}1s图(b)3Re{}3s图(c)Re{}1s(b)2()txte的傅立叶变换存在，则s＝-2轴一定在()xs的收敛域内图(a),Re{}1s图(b),3Re{}3s图(c),3Re{}1s(c)x(t)=0,t0,则x(t)为左边信号图(a),Re{}1s图(b),Re{}3s图(c),Re{}3s(d)x(t)=0,t5,则x(t)为右边信号图(a),Re{s}1图(b),Re{s}3图(c),Re{s}-14.针对图P6.4所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定：(a)拉氏变换式。(b)零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。解：图(a)拉氏变换为(1)()(3)(1)sXskss，k为常数。收敛域Re{}3s时，信号为左边信号为Re{}1s时，信号为右边信号。为3Re{}1s时，信号为双边信号图(b)拉氏变换为21()(2)(1)(1)sXsksss收敛域Re{}2s时，信号为左边信号为Re{}1s时，信号为右边信号。为2Re{}11Re{}1ss时信号为双边信号时时，信号为双边信号5.在正文中我们提到，虽然拉氏变换的收敛性比傅立叶变换收敛性要强，但并不是任何信号的拉氏变换都存在。对下列信号，判断拉氏变换是否存在。若存在，请求出其拉氏变换及其收敛域(a)()tut(b)()ttut(c)2()tteut(d)2()teut(e)()teeut(f),0(),0ttetxtet解：(a)存在21s，Re{}0s(b)(c)存在21(2)s，Re{}2s(d)(e)(f)不存在6.若已知1{()}uts，收敛域为Re{}0s，试利用拉氏变换性质，求下列信号的拉氏变换及其收敛域。(a)2()teut[cos()]()ctut(b)[sin()cos()]()ccttut(c)[cos()]()atetut(d)[cos()]()cttut(e)[cos()]()atctetut(f)()teutT(g)()tteutT(h)'()tt(i)2''()tt(j)0()kkatkT(k)2(1)tut(l)0()tteutT(m)2[cos()]()cttut(n)[sin()]()ctutT(o)0sin()tcd(p)1(1)()atteut解：(a)2,Re{}0csss(b)2,Re{}0ccsss(c)2,Re{}()csss(d)2222,Re{}0()ccsss(e)222(),Re{}()ccsss(f)(1)Re{}11sTess(g)(1)21,Re{}1(1)sTTsTess(h)-1,Re{}sR(i)1,Re{}sR(j)1ln,||1sTasaeT(k)23112(),Re{}02sessss(l)0(1)1sTtees(m)222232(3),Re{}0()ccssss(n)22(coscos),Re{}0()sTcccceTsTss(o)22,Re{}0()ccsss(p)22(2),Re{}0()asasssa7.求图P6.7所示信号的拉氏变换式及收敛域。(a)221(1)(1),Re{}0sseess(b)1(1),Re{}01ssaeaesss(c)021,Re{}0stess(d)224(1),Re{}0(1)ssesse(e)222222222222[(cossin)],Re{}0(1)()(1)1,Re{}01ccccsTccccccssscccccsceTsTssseeesssse(f)2222(1)1,Re{}0(1)(1)TTssTTsseessese(g)11()()242(1)(1)111()(1)()(1)ssssseeesese8.计算下列X(s)的拉氏反变换：(a)223,Re{}0(1)(4)ssss(coscos2)()ttut(b)223,Re{}043ssss313()()22tteeut(c)21,Re{}3(21)(3)2ssss'32115[()()2()9()]42tteuttteutT(d)21,Re{}356ssss322()()tteuteut(e)2321,Re{}1sssss()()tteut(f)21,Re{}156ssss[cos(2)]()tetut(g)321,1Re{}044sssss232cos2()sin2()()5105ttuttuteut(h)3221,Re{}131sssss2'3()()2()()tteuteuttt(i)323,1Re{}022sssss2311342222331()cos()sin()222ttssssutetutetut(j)21,Re{}09ss1sin3()3tut9.已知LTI系统的系统函数H(s)及输入x(t)，求系统的响应y(t).(a)223(),()()68sHsxtutss(b)24(),()()(32)tsHsxteutsss(c)2222(),()()(9)tssHsxteutss(d)21(),()()56tsHsxtteutss解：(a)311151()84284Hssss24315()()()()848ttytuteuteut(b)22413()12(1)sHsssss2()2()()()3()tttytuteuteutteut(c)1()sin3()3yttut(d)2311()()()()22tttyteuteuteut10.计算下列微积分方程描述的因果系统的系统函数()Hs。若系统最初是松弛的，而且()()xtut，求系统的响应()yt。(a)22()()()43()()dytdytdxtytxtdtdtdt(b)22()()()45()dytdytdxtytdtdtdt如果()xt为()teut，系统的响应y(t)又是什么？解：(a)1()3Hss311()()()33tytuteut(b)2()45sHsss2()sin()tytetut当输入()teut时，(a)311()()()22ttyteuteut(b)2211()()cos()sin()33tttyteutetutetut11.已知LTI因果系统的输入2()()txteut，单位冲激响应()()thteut。(a)用时域分析法求系统响应y(t).(b)用复频域分析法求系统响应y(t)解：(a)2()()()(1)()tttyteueutdeeut(b)21()(1)(2)()()()ttYsssyteuteut12.某LTI系统的有理系统函数H(s)的零极点及收敛域如图P6.12所示，若H(0)＝1。求：(a)求产生此输出的输入信号x(t).(c)若已知|()|xtdt，求输出信号x(t).,(d)已知一稳定系统，当输出2()teut时，输出为上述()xt中的一个，确定是哪一个？求出系统的单位冲激响应。解：(a)3(2)()(1)(6)sHsss(b)10(1)()(1)(2)(5)sHssss(c)2()(1)(2)Hsss(d)2()(1)(2)Hsss13.已知因果全通系统的系统函数1()1sHss，输出信号2()()tyteut(a)求产生此输出的输入信号x(t).(b)若已知dt+－|x(t)|，求输出信号x(t).(c)已知一稳定系统当输入为2()teut时，输出为上述x(t)中的一个，确定是哪个？求出系统的单位冲激响应h(t).解：(a)2()xt1()2Hss。Re{}2s，()1()()(1)(2)YssXsHsss由于()Hs的ROC为Re{}1s，()Xs的ROC为2Re{}1s或Re{}1s若1ROC为-2Re{s}1，则2112()()()33ttxteuteut若2ROC为Re{s}1，221()(2)()3ttxteeut1()xt，2()xt分别如图PS6.13(a),(b)所示：(a)(b)(b)若dt+－|x(t)|，则只能是1()()xtxt即：212()()()33ttxteuteut(c)11()()(),()(1)(2)1ssXsYSHsHsss