2015级高数(上)试卷A及问题详解(1)

实用标准文档大全…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………姓名学号专业班级学院武汉理工大学考试试卷（A卷）2015~2016学年1学期高等数学A（上）课程任课教师．．．．题号一二三四五合计满分15155686100得分一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分）1、当0x时，与)1ln()cos1(2xx是等价无穷小的是（）。434411()()()()222AxBxCxDx2、单调函数)(xfy在1x二阶可导，且3)1('',2)1(',2)1(fff，则222ydyxd（）。(A)43(B)43(C)83(D)833、曲线1xxey的渐近线有（）条。(A)0(B)1(C)2(D)34、设函数)(),(xgxf在0xx二阶可导，且0)(')(',0)()(0000xgxfxgxf，则（）。(A)0x不是)()(xgxf的驻点；(B)0x是)()(xgxf的驻点，但不是)()(xgxf的极值点；(C)0x是)()(xgxf的驻点，且是)()(xgxf的极小值点；(D)0x是)()(xgxf的驻点，且是)()(xgxf的极大值点。5、在[0,1]内0)('',0)('',0)1()1(,0)0()0(xgxfagfgf且，101)(dxxfI，101032,)(axdxIdxxgI，则这三个积分的大小关系是（）。123321231213()()()()AIIIBIIICIIIDIII得分实用标准文档大全二、填空题（本题共5小题，每小题3分）1、已知0x是函数xxxfsin)(的可去间断点，若定义)0(f，则)(xf在0x连续。2、若函数xxysin2则)0()3(y。3、已知xcos是)(xf的一个原函数，则dxxxf)('。4、设函数)(xf可导，且5.0)1('f，则)(2xfy当自变量x在1x处取得增量1.0x时，相应的函数的微分dy。5、曲线2/332xy上相应于30x的一段弧的弧长等于。三、求解下列各题（本题共8小题，每小题7分）1、若)(xf在0x的某邻域内连续，求xxdttftxxxtan)()(lim002、求由方程yxey1确定的隐函数)(xfy的二阶导数022xdxyd得分得分实用标准文档大全3、函数)(xfy由参数方程tyttxcos1sin确定，求22dxyd4、求不定积分dxexexx2)1(5、求反常积分211xxdx实用标准文档大全6、若)(xf是),(上周期为4的可导函数，0)1(f，且4)1()1(lim0hhfhfh，求曲线上点))5(,5(f处的切线方程。7、已知10)(dttxxf，求)(xf在]2,0[内的表达式。8、已知axxxxf93)(23，其中a为实数，问a为何值时，函数)(xf恰有三个零点。实用标准文档大全四、应用题（本题8分）记由抛物线)0()2(2axaaxy与x轴围成的平面图形为D，问a为何值时，平面图形D的面积最小。得分实用标准文档大全五、证明题(本题6分)设)(xf在]2,0[上连续，在)2,0(内可导，且20)()0(2dxxff。证明：（1）)2,0(，使)0()(ff；（2）对任意实数，)2,0(，使0))0()(()('fff得分实用标准文档大全标准答案：一、ADCDC。二、1、1；2、6；3、Cxxxcossin；4、0.1；5、14/3。三、1、解：原式=)0(21)(lim214(2)(lim2()()(lim0002000fxfxdttfxdtttfdttfxxxxxxx分）分）……..7分2、解：10yx时，。edxdyyexeedxdyxyyy021…………3分20222222)2()2(edxyddxdyyeyedxydxyy………….7分3、解：2cotcos1sinsin,cos1tttdxdytdtdytdtdx，……………….3分2222)cos1(1cos12csc21)2(cottttdxdttdtddxyd……………..7分4、解：原式=分）分）5(1113)(11(dxeexexdxxxCeexdxeeexxxxxx))1ln(1(11-…………..7分5、解：原式=3812)1323(112121212123xxxdxdxx（分）….7分6、解：由表达式可知0)5(0)1(ff.…………….2分。又因为2)5('2)1('4)1('2)1()1(lim)1()1(lim)1()1(lim000fffhfhfhfhfhhfhfhxh………………..5分则曲线在点)0,5(处的切线方程为102xy…………………7分7、解：当10x时，xxxxdtxtdttxxf01221)()()(。。。2分当21x时，1021)()(xdttxxf………………5分则21,2110,21)(2xxxxxxf……………..7分…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………实用标准文档大全…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………8、解：令0)1)(3(3)('xxxf得驻点1,3xx。。。。。。。2分x)3,(-3(-3,1)1),1()('xf0-0+)(xf增极大值27+a减极小值-5+a增又)(lim,)(limxfxfxx，。。。。。。。。。。5分所以当52705,027aaa时，)(xf恰有三个零点。……..7分四、解：抛物线与x轴的交点坐标为)0,2(),0,0(aa（这里02aa）……..2分则aaaadxxaaxaS202326)2())2(()(…………….5分令06)4()2()('32aaaaS得唯一驻点4a且取极小值，故当4a时，平面图形的面积最小，为49)4(S……..8分五、证明：（1）设xdttfxF0)()(，则)(xF在[0,2]上连续，在(0,2)上可导。由拉格朗日定理可知：)2,0(，使)0()()(2)('2)()0()2(20fffFdxxfFF。。。。。。。3分（2）记()(()(0))xGxefxf，则(0)()0GG，由罗尔定理：)2,0(),0(使'()0'()(()(0))0Gfff.…………..6分实用标准文档大全