武汉理工大学2012级高数A上期末考试

武汉理工大学考试试卷（A卷）2012~2013学年1学期高等数学A（上）课程时间120分钟80学时，5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%，2013年01月22日题号一二三四五六七八九十合计满分15154010128100得分一、选择题（本题共5小题，每题3分）1、若0x时，tanxx与kx是同阶无穷小，则()A0kB1kC2kD3k2、已知()fx在0x处可导，且(0)0f，则2330()2()limxxfxfxx()A2(0)fB(0)fC(0)fD03、曲线22+=1xxyx渐近线的条数为()A0B1C2D34、设(),()fxgx具有二阶导数，且()0gx.若0()gxa是()gx的极值，则[()]fgx在0xx处取极大值的一个充分条件是()A()0faB()0faC()0faD()0fa5、设20sin(1,2,3)kxkIexdxk，则（）A123III；B321III；C231III；D213III二、填空题（本题共5小题，每题3分）1、22limsin1xxxx.2、设1()1,xtfxedt，则()yfx的反函数1()xfy在0y的导数0ydxdy3、设()fx的一个原函数为tanxx，则()xfxdx.4、曲线211ln(1)42yxxxe的弧长s.5、某工程需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k），汽锤第一次击打将桩打进地下a米。若汽锤每次击打桩时所作的功相同，则汽锤击打桩2次后，可将桩打进地下米深.三、计算题（本题共5小题，每题8分）1、110ln(1)limxexxx.2、设函数)(xyy由方程组sinsincosxtyttt所确定，求224tdydx.3、设32(),1xfxx求()()(1)nfxn.4、2211dxxx5、21ln(1)xdxx四、计算题（本题满分10分）设2()sinxxfxtdt.（1）证明()fx是以为周期的周期函数；（2）求()fx的值域.五、应用题（本题满分12分）过坐标原点作曲线lnyx的切线，该切线与曲线lnyx及x轴所围成的平面图形为D.（1）求D的面积A；（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.六（本题共2小题，满分8分）设奇函数xf在1,1上具有二阶导数，且11f，证明：（1）存在1,0，使得1f；（2）存在1,1，使1ff.武汉理工大学考试试题答案（A卷）2012~2013学年1学期高等数学A课程一.单项选择题（每题3分）：DBCBD二.填空题（每题3分）：1.2；2.111e；3.22tansecxxCx；4.214e；5.2a.三．计算题（本题共5小题，每小题8分，共40分）1、解设11ln(1)xexyx，则lnln(1)lnln1xxxye，（2分）0011limlnlim(1)ln(1)xxyxxx（4分）200(1)ln(1)11ln(1)1limlim22xxxxxxxx（7分）原式12e（8分）2、解coscosdytttdxt，（4分）222241,2.costdydydxtdx（8分）3、解111111()112112fxxxxxxx，（3分）则()()nfx11(1)!11(1)211nnnnnxx（8分）4、解222221seccostansecsin1ttdxdtdttttxx（5分）21cscxtCCx（8分）5、解21111ln1ln11ln(1)111xxdxxddxxxxxx（4分）1111lnln211xdxxxx（8分）四.（本题10分）解（1）32()sinxxfxtdt（2分）2sin()()xxtuudufx.（4分）（2）()cossinfxxx，令3()0,,44fxxx.（7分）则3()2()22(0)1()144ffff，，，，（9分）所以可得()fx的值域是：22()2fx.（10分）五.（本题12分）解（1）设切点的横坐标为0x，则曲线lnyx在点00(,ln)xx处的切线方程是0001ln()yxxxx.（2分）由切线过原点：00ln10,xxe切线方程1yxe.（4分）面积101()12yAeeydye.（6分）（2）所求旋转体的体积为：221211(ln)3eVVVexdx（9分）221(2)(36)33eeee（12分）六.（本题8分）证明（1）设()(),(0)(1)0,FxfxxFF（2分）1,0，使得0F，即1f；（4分）（2）设()[()1],()0,xGxefxG（6分）xf为奇函数，xf为偶函数，从而()0.G1,1),(，使()0,G从而1ff.（8分）