1.3.1-圆幂定理-课件-(人教B版选修4-1)

课后智能提升课堂讲练互动1．经历相交弦定理、切割线定理、圆幂定理的探究过程，体会运动变化思想，认识定理的内在联系．2．理解相交弦定理、切割线定理、圆幂定理，能应用定理解决相关的几何问题．3．通过探究，进一步体会运动变化思想，体验数学探究的过程．1．3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理课后智能提升课堂讲练互动定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图所示，AB、CD是⊙O的两条弦，AB、CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.关键词：相交弦定理、切割线定理、圆幂定理知识点一相交弦定理课后智能提升课堂讲练互动【例1】在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为()A．33cmB．27cmC．123cmD．63cm解析：方法一：如图所示，OA＝12，CD为OA的垂直平分线，连接OD.在Rt△POD中，PD＝OD2－OP2＝122－62＝63，∴CD＝2PD＝123(cm)．课后智能提升课堂讲练互动答案：C【反思感悟】准确使用相交弦定理解决此题．方法二：如图所示，延长AO交圆于M，由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.又∵CD为线段OA的垂直平分线，∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6，PM＝6＋12＝18，∴PD2＝6×18，∴PD＝63，∴CD＝2PD＝123(cm)．课后智能提升课堂讲练互动切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．如图所示，PBA是⊙O的割线，PC是⊙O的切线，则PC2＝PA·PB.知识点二切割线定理课后智能提升课堂讲练互动【推敲引申】从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．如图：PA·PB＝PC·PD.课后智能提升课堂讲练互动如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A点和B点，PA＝6cm，AB＝8cm，PO＝10.9cm，求⊙O的半径．分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．【例2】课后智能提升课堂讲练互动【反思感悟】构造割线，利用定理，得出结论．解：将PO延长交⊙O于D，根据割线定理，可得PA·PB＝PC·PD.设半径为r，则6×(6＋8)＝(10.9－r)(10.9＋r)，所以r＝5.9(cm)．课后智能提升课堂讲练互动圆幂定理：已知⊙O(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点，则当点P在圆外时，k＝PO2－r2；当点P在圆内时，k＝r2－PO2；当点P在圆上时，k＝0.其中k叫点P对⊙O的“幂”．知识点三圆幂定理课后智能提升课堂讲练互动【推敲引申】幂k应理解为：当⊙O一定，点P与⊙O的位置一定时，则PO长及半径r的长都一定，所以|PO2－r2|为常数k.课后智能提升课堂讲练互动从不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径等于________．分析：圆幂定理是相交弦定理、切割线定理的统一形式，它是涉及与圆有关的比例线段问题，因而利用相交弦定理和割线定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．【例3】课后智能提升课堂讲练互动解析：由AB·AC＝64，故A对⊙O的幂k＝64.∴当点A在⊙O内，如图(1)，则有k＝r2－AO2，∴r2＝AO2＋k＝100＋64＝164，∴r＝241；当点A在⊙O外，如图(2)．则有k＝AO2－r2，∴r2＝AO2－k＝100－64＝36，∴r＝6.故⊙O的半径为241或6.答案：241或6课后智能提升课堂讲练互动【反思感悟】圆幂定理的结论是线段的关系，因而在特殊图形中，常常从圆幂定理入手，结合三角形及三角形相似等知识来求解有关线段问题．课后智能提升课堂讲练互动上述几个定理的综合应用如图所示，已知O是正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径；【例4】【探究学习】课后智能提升课堂讲练互动(3)对于以点M、E、A、F以及CD与⊙O的切点为顶点的五边形的五条边，从相等关系考虑，你可以得出什么结论？请给出证明．分析：利用三角形全等说明OM＝ON可得(1)，在Rt△OMC中，由sin∠OCM＝OMOC，求出OM得(2)，对于(3)先由图猜想EM＝FN，AE＝AF＝MN，再证明．课后智能提升课堂讲练互动(1)证明：连接OM，则OM⊥BC.过O作ON⊥CD于N，则∠OMC＝∠ONC＝90°.∵O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴∠OCN＝∠OCM＝45°.又OC为公共边，∴△OCN≌△OCM，∴OM＝ON，即ON为圆O的半径．又由作图ON⊥CD知，CD为⊙O的切线．课后智能提升课堂讲练互动(2)解：设⊙O的半径为R，则ON＝R.又∵正方形边长为1，∴AC＝2，∴OC＝AC－OA＝2－R.在Rt△OMC中，sin∠OCM＝OMOC，即sin45°＝R2－R，解得R＝2－2.课后智能提升课堂讲练互动(3)解：对于五边形MEAFN的五条边，从是否相等考虑，有：MN＝AE＝AF，EM＝FN.证明如下：先证明AE＝AF，不妨假设正方形ABCD边长为1，易证四边形OMCN是正方形，则MO＝NO＝MC＝R＝2－2，MN＝OM2＋ON2＝2R＝22－2.而BM＝DN＝1－MC＝1－(2－2)＝2－1，BC切⊙O于M，∴BM2＝BE·BA，即(2－1)2＝BE·1，∴BE＝3－22.同理DF＝3－22.∴AE＝AF＝1－BE＝22－2.课后智能提升课堂讲练互动【反思感悟】综合考查本节所学的几个定理．故AE＝AF＝MN.再证：EM＝FN.由于DF＝BE，DN＝BM，∴Rt△EBM≌Rt△FDN，∴EM＝FN.课后智能提升课堂讲练互动高考题在这部分可能与圆的切线，以及其他知识综合出现，以前在中考中此部分是考查的重点，现在放在高中部分，虽不是高考的重点，但有可能出现在选择题、填空题中，且难度较小．高考在线【点击考点】课后智能提升课堂讲练互动【剖析考题】【例5】(2010·广东)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝________.解析：∵AP＝PB，∴OP⊥AB.又∵∠OAP＝30°，∴AP＝32a.由相交弦定理得CP·PD＝AP2，∴CP＝AP2PD＝34a2×32a＝98a.课后智能提升课堂讲练互动【反思感悟】本小题主要考查解直角三角形知识及相交弦定理的应用．答案：98a课后智能提升课堂讲练互动【例6】(2010·陕西)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA＝________.解析：∵∠C＝90°，AC为圆的直径，∴BC为圆的切线，AB为圆的割线．∴BC2＝BD·BA，即16＝BD·5，解得BD＝165.∴DA＝BA－BD＝5－165＝95.∴BDDA＝169.答案：169课后智能提升课堂讲练互动【反思感悟】本小题主要考查圆的切割线定理，同时考查推理和运算求解能力．课后智能提升课堂讲练互动如图所示，AB是⊙O的直径，过A、B引两条弦AD和BE，相交于点C.求证：AC·AD＋BC·BE＝AB2.分析：挖掘题目隐含条件，借助割线定理证明．【例7】课后智能提升课堂讲练互动证明：连接AE、BD，过C作CF⊥AB，与AB交于点F.∵AB是圆的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°.∵∠AFC＝90°，∴A、F、C、E四点共圆．①∴BC·BE＝BF·BA.同理可证F、B、D、C四点共圆．∴AC·AD＝AF·AB.②①＋②，得AC·AD＋BC·BE＝AB(AF＋BF)＝AB2.课后智能提升课堂讲练互动【反思感悟】上题中的结论与条件没有太直接的关系，无法看出直接应用什么定理求解．但仔细分析发现所求式中含AC·AD，BC·BE，联想到割线定理，这样可以构造一个圆使BCE，BA为其两条割线，进而发现四点A、F、C、E共圆，该圆设为⊙O′.显然BCE，BA是⊙O′的两条割线，同理可构造B、D、C、F四点共圆，问题可得．本题从结论入手根据所学的知识构造条件是解决复杂的几何证明问题的关键，这是一个难点．课后智能提升课堂讲练互动知识框图课后智能提升课堂讲练互动单击此处进入课后智能提升