理想刚塑性平面应变问题

理想刚塑性平面应变问题滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf和Budiansky在1949年提出的。由于它对于求解理想刚塑性平面应变问题的方便和有效。滑移线理论在塑性力学中占有很重要的地位，一直得到较快的发展。除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工，金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外，近年来对平面应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和变形过程中，往往存在加工硬化影响。蠕变和应变率效应，惯性力的影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理，从而导致理想化的理论模式。自然这样的理想化的理论计算给出工程上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。刚塑性平面应变问题的基本方程一、不可压缩条件平面应变的位移满足关系：),(yxuuxx),(yxuuyy0zu（1）其速度场满足：),(yxvdtduxx),(yxvdtduyy0zzvdtdu（2）其应变率张量为：0000)(210)(21yvxvyvyvxvxvyyxxyxij（3）不可压缩条件表示为：0zyx（4）因为0z，故有:0yvxvyx（5）二、Levy—Mises关系由于)2(yxxxS)2(xyyySxyxy2故有xyxyxyxyxyxyyvxvxvyv2三、平衡条件和屈服条件不考虑体积力,平衡条件为:0yxxyx(6.1)0yxyxy(6.2)Mises屈服条件:022kJf由正交流动法则,并知0z,则有:0)(zzzzSf进而可知:2yxz(7)注意到:2yxxxS2xyyyS故有yxSS(8)进而可知:22222222)2()2(2121xyyxxyxxyyxijijSSSSSSSJ∴Mises屈服条件可进一步表示为下式:22244)(kxyyx(9)又考虑到:2231)2(2xyyxyx故有:2231)2(2xyyx因此Tresca屈服条件表示为:22244)(kxyyx(10)应当注意:(9)中的3sk,而(10)中的2sk注：如果给定应力边界条件还可以用(6)式和(10)式来求x，y，xy在刚性区则有:22244)(kxyyx2cosx2cosy2sinxy其中为1与x轴夹角,而线与x轴夹角为,则有:4进而:2sin2cos,2cos2sin2sinx2siny2cosxy将上式代入平衡方程(6)式可得:02sin22cos20ykxkx02cos22sin20ykxky(11)由式2sinx2siny2cosxy可得xyyxtg22将上式代入式xyxyxyxyxyxyyvxvxvyv2可得0)(2)(xvyvtgyvxvyxyx0yvxvyx(12)注：如果给定速度边界条件还可以用(11)和(12)来求yxVV,，，滑移线1、应力场中的滑移线、应力方程材料发生塑性屈服时，任一点的应力状态可以用等斜面上的平均正应力和等斜面上剪应力表出。因为斜面上的平均正应力式不影响屈服的，因此材料是沿斜面剪应力方向发生剪切屈服破坏。在平面应变问题中，连续材料质点的剪应力最大值即各质点等斜面剪应力轨迹线或滑移线。如果能在平面内描出塑性变形滑移线。也表示沿这些线上的剪应力等于屈服剪应力，而与之对应的面上正应力即为平均应力。在塑性变形中，任一点的滑移线方向已知，由式2sinx2siny2cosxy可知，如果能计算出该点的平均应力大小，那么该点的应力状态可唯一的确定，如此通过平面滑移线作图与应力分析，就可以求出平面应变的应力分量。由于滑移曲线仅限于二维坐标平面，因而它仅限于求解平面应变问题，页因为应力场中剪切屈服认为式等值才能描述出滑移线，所以只能认为理想刚塑性的材料才是适宜的。02sin22cos20ykxkx02cos22sin20ykxky由于问题解与坐标选择无关,将yx,坐标系化为,坐标系(取0)则有:0)2(kdd0)2(kdd进而可得:k2(沿线)(24.1)k2(沿线)(24.2)上式称为Hencky方程。此外由图可见,沿线满足tgdxdy,沿线ctgdxdy。这是互相垂直的平面坐标中两曲线族，一条曲线的切线与x轴夹角为θ，另一条曲线是逆时针转90度形成的曲线，显然，曲线族任何点都满足这个条件，而满足这个条件各点连成曲线形成平面中互为正交的两族曲线。这两族曲线被称为α和β两族滑移线。滑移线上各点既满足屈服条件和满足平衡方程，是塑性区的解。自然，滑移线是一种通过作图给出塑性解的形象描述，它不是指一点或一条线而言，而是对某塑性区的描述，因而能在某塑性区域中画出滑移线，也就能求出该区域中的塑性解。2、速度滑移线、速度方程平面刚塑性的变形问题一一速度场是在应力场的基础上加以分析求解。它也可以借助于作图和分析相结合的办法求出变形过程中的应变率分量和速度分量。而这一滑移线且刚好与应力场中的滑移线是吻合的。本节对此加以说明在直角坐标下，平面应变的速度分量分别为,xVxy和yxVx,。应变率分别为x，y和xy，并且两者之间有xVyVyVxVyxxyyyxx（9.42）显然，如以xV和yV作为基本未知量表示平面应变中的变形，那么依据塑性区体积不可压缩条件0yx，得出0yVxVyX（9.43）在求出应力解基础上，利用增量型本构方程xyxyyyxxSS2.（9.44）将与表示的应变率带入上式，得出xyyxmyymxxxVyVyVxV2)()((9.45)由以上三式消去，并用应力分量表示XV和yV，则xyxyxyyxxVyVxVyV2(9.46)这样对刚塑性平面应变变形问题，由（9.43）和(9.46)两个方程求解XV和yV的两个未知数。因而与应力场一样，平面应变的速度场也是静定的。显然直接求解(9.43)和（9.46）两个方程是不可能的，依然可用特征值和滑移线方法求速度场问题。将(9.46)方程中的应力分量用平均应力滑移线夹角表示成2cos2sin2sinkkkxyyx将速度方程改写成0)(2xVyVtgyVxVyxyx（9.47）再考虑体积不变条件和沿xy平面上任一曲线XV和yV的增量，则有dyyVdxxVdVdyyVdxxVdVyVxVyyyxxxyx0（9.48）以上4个方程式构成一组以xVx、yVx、xVy、yVy未知量的线性方程组，令其系数行列式等于零，即0000010011221dydxdydxtgtg展开得解得：ctgtgdxdy（9.49）说明xV和yV的特征线在xy平面中与应力场中定义的滑移线式同一曲线，也就是平面应变的滑移线既是应力解方程的特征线，也是速度解方程的特征线。因为它们在平面中具有相同的曲线切线描述。并由Levy-Mises本构理论，应变增量分量与对应的应力偏量分量成正比，也就是两者的主方向重合。因而最大剪应力与最大剪应变率方向重合，说明由应力场中所划出的滑移线，不但表达了各点最大剪应力以及进而发生屈服的方向，也表达了最大剪应变率以及屈服的变形方向。在应力场中的滑移线理论中，曾给出了沿和滑移线和满足的滑移方程，在研究变形问题即速度场中，也由速度滑移线给出由V，V和表达的速度方程，这一方程首先是由Griringer在1930年给出的，又称为Griringer方程。如图9.17所示，V和V是任一点的速度矢量，并且是沿滑移线和的速度分量，则是线与x正方向的夹角。按图示的坐标转换关系，则有直角坐标速度分量XV、yV和滑移线速度分量V、V之间的关系cossinsincosVVVVVVyx(9.50)Levy-Mises本构理论在这里表示为yyxxSyVSxV..（9.51）如果沿滑移线方向取微元，并用ld、ld分别表示其沿与线之微弧长。以滑移线与滑移线方向的局部坐标代表该点的直角坐标x轴与y轴的话，那么由滑移线所表达的力学概念，必有微元正应力和均为平均应力，于是有与线上的应力偏量分量为零，即00SS（9.52）依据（9.44）式的本构关系知，沿滑移线的应变率也为零。而x方向和滑移线方向相切时的应变率为零0cossinsincos00xVxVxVxVxVx化简后得出0lVlV沿线(9.53)当y方向与线方向相切，类似地由00yVy条件，可以得出另一方程为lVlV=0沿线（9.54）将以上面方程写为更简化和直观形式0dVdV沿线（9.55）0dVdV沿线这一组速度方程表明：如果滑移线为直线的话，那么沿滑移线必有为常数，d=0，相应的滑移线速度为常数，因而均匀应力场既是均匀速度场。对于一条为直线，另一条为曲线的简单应力场，例如族为直线，沿线必有d=0，在速度场转中，由上面Gririger方程分析出V是常数，)(）（dvVV，式中V和是任意函数。因为滑移线理论是建立在刚塑性平面应变塑性变形基础上，不发生塑性滑移部分仍然保持其刚性假设，这一点在分析速度场问题时要注意。应力边界条件如图所示法线为n的边界A点的应力已知，即n和n已知。该点外法线n与x轴之间夹角为，按熟知的平面坐标转换公式，求得A点的x，y和xy和n与n之关系式cos2sin222sin2cos22xyxynxyxynxy（13）再考虑处于屈服状态的某点，该点的平面应力为x，y和xy。该点等斜面上的正应力为平均应力用表示，它的剪应力达到剪切屈服极限K。如果该等斜面的法线与x轴夹角用表示，亦根据平面上应力转换公式和和直角坐标应力分量之关系sin2sin2cos2xyxykkk（14）如将（14）式代入（13）式，得出屈服状态边界某点的和与边界应力n与n之关系sin2()cos2()nnkk（15）将（15）式写成反函数得11cos2sin2()nnmkk（16）这样推到的结果（16）表明，在通常外力给定的时候，边界上的分布应力n和n是已知的，则由（16）式可以计算屈服边界附