角的概念的推广

数学驿站理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；2.能在0°和360°范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念；4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系．教学建议1．关于角的概念的推广的知识结构本小节内容从角不大于周角的非负角开始扩充到任意角，使角有正角、负角、零角之分。在平面直角坐标系内建立适当的直角坐标系后，根据角的终边在哪一象限，把角划分为四个象限和特殊角等若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。再由特殊到一般进行归纳总结.2．关于角的概念的推广的重点、难点分析本节的重点是任意角的概念和象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．可以通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．建立直角平面坐标系的前提是：角的顶点和坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合．在这个前提下角的终边落在第几象限就称为第几象限的角，若终边落在坐标轴上，称为坐标轴上的角．为了加深对任意角概念的理解，应正确区分锐角、的角、小于的角．凡与角终边相同的角均可以写作．这一条件不可少，它表明了与终边相同的角都相差的整数倍，或者在形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与终边相同的角，经常使在之间，求终边相同的角，可用此角去除以，使余数在之间．3．关于角的概念的推广的教法建议数学驿站（1）建议通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．也就是用运动的观点来讲述角的概念的推广实际意义．（2）正角与负角的规定是出于习惯，就和正数、负数规定一样。建议讲正角和负角的教学时对比正数、负数进行教学．（3）角的概念推广后，建议引导学生辨别“锐角”、“的角”、“小于的角”、“第一象限角”这些容易混淆的概念．（4）建立平面直角坐标系后，建议在教学过程中要注意正确区分轴正半轴上的角与轴上的角，轴正半轴与轴上的角，防止学生发生混淆．（5）建议在教学过程中要认真对待本节的符号、词语，注意它们的正确使用，给学生树立一个榜样．教学设计示例（一）角的概念的推广教学目标1．理解引入大于角和负角的意义．2．理解并掌握正、负、零角的定义．3．掌握终边相同角的表示法．4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．重点难点1．理解并掌握正、负、零角的定义．2．掌握终边相同角的表示法．教学用具直尺、投影仪教学过程1．设置情境数学驿站设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2．探索研究（1）正角、负角、零角概念①一条射线由原来位置，绕着它的端点，按逆时针方向旋转转到形成的角规定为正角，如图中角；把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样，、，点分别叫该角的始边、终边、角顶点．②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角．③我们作出，及三个角，易知，它们的终边相同。还可以看出，，的终边也是与角终边重合的，而且可以理解，与角终边相同的角，连同在内，可以构成一个集合，记作．一般地，我们把所有与角终边相同的角，连同角在内的一切角，记成，或写成集合形式．（2）例题分析【例1】在～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．解：（1）∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；数学驿站（3）所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以，按通常除去进行；负的角度除以，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．练习：（学生板演，可用投影给题）（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上，B．轴正半轴上，C．轴或轴上，D．轴正半轴或轴正半轴上解答：（1）（2）C【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：（1）；（2）；（3）．解：（1）中适合的元素是数学驿站（2）满足条件的元素是（3）中适合元素是说明：与角终边相同的角，连同在内可记为，这里（1）；（2）是任意角；（3）与之间是“＋”连接，如应看做；（4）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差的整数倍；（5）检查两角，终边是否相同，只要看是否为整数．练习：（学生口答：用投影给出题）（1）请用集合表示下列各角．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（2）分别写出：①终边落在轴负半轴上的角的集合；数学驿站②终边落在轴上的角的集合；③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．解答（1）①；②；③；④（2）①；②；③；④．说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含．【例3】用集合表示：（1）第三象限角的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．解：（1）在～中，第三象限角范围为，而与每个角终边相同的角可记为，，故该范围中每个角适合，，故第三象限角集合为．数学驿站（2）在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为．说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．3．练习反馈（1）与的终边相同且绝对值最小的角是______________．（2）若角与角的终边重合，则与的关系是___________，若角与角的终边在一条直线上，则与的关系是____________．（3）若是第四象限角，则是（）．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：（1）；（2），，；（3）C4．总结提炼判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．课时作业1．在到范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角（1）（2）（3）（4）数学驿站．写出终边在轴上的角的集合（用～的角表示）3．写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．4．时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为______________．5．写出终边在直线上的角的集合，并给出集合中介于和之间的角．6．角是～中的一个角，若角与角有相同始边，且又有相同终边，则角．参考答案：1．（1）（2）（3）（4）2．3．，或4．，5．，或6．教学设计示例（二）角的概念的推广教学目标1．讨论等分角所在象限问题．2．会表示给定区域内的角的集合．重点难点数学驿站．讨论等分角所在象限问题．2．会表示给定区域内的角的集合．教学用具投影仪教学过程1．教学情境我们都知道，是锐角，角的一半也是锐角，那么第一象限角：，的一半是否仍在第一象限呢？2．探索研究（1）在上述问题中，令，，则为了确认的终边所在位置，关键是“看”，是否为的整数倍。为此可对的奇、偶性展开讨论．①若，，则，进而可知与角终边相同且在Ⅰ象限．②若，，则，易知与角终边相同，都在Ⅲ象限．综上可知，在Ⅰ或Ⅲ象限，且它的两个终边互为反向延长线。（2）若已知：角满足，、为常数，，则所在位置如何确定？数学驿站事实上，此问题可以仿照上述问题一样处理．∵，∴为了确定所在区间，需要确定“边界”，，的位置，为此又需要“看”是否为的整数倍，故讨论如下．①若，，则，如图，它表示单位圆中的扇形区域Ⅰ．②若，，则此时，在单位圆中的区域Ⅱ中综上知，在对顶扇形Ⅰ、Ⅱ之中．（3）例题分析【例1】若是第二象限角时，则，，分别是第几象限的角？数学驿站解：（1）∵是第二象限的角∴则，故是第三或第四象限的角，或角的终边在轴的负半轴上．（2）∵，当时，是第一象限的角，当时，，是第三象限的角，∴是第一或第三象限的角．（3）∵，当时，，∴是第一象限的角，当时，∴是第二象限的角；当时，，∴是第四象限的角；综上所述是第一或第二或第四象限的角，如图所示：数学驿站．演练习反馈1．设，，则相等的角集合为_______________．2．如图，终边落在阴影处（包括边界）的角集合为（）A．B．C．D．参考答案：1．，2．D4．总结提炼数学驿站（1）欲问角在哪个象限，只需把改写成，其中，如讨论形如所表示的角所在象限，可按，，对整数进行分类，目的是“凑”出表达：（2）对表达式，，、为常数，它的图示为单位圆中的对顶扇形．课时作业1．若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在_______．2．下列各题中，正确的是（）A．终边和始边都相同的两个角一定相等B．是第二象限的角C．若，则是第一象限角D．相等的两个角终边一定相同3．与终边相同的角可写成（）A．．B．．C．．D．．4．已知角的终边与轴的正半轴所夹的角为，且终边落在第二象限，又，求．5．已知．求，．参考答案：数学驿站．在轴正半轴上．（注：轴正半轴上角都是吗？）2．选D3．选C取－2时4．∵∴，5．．．典型例题例1设，，，，那么有（）．A．B．C．（）D．分析：解答本题时，先应明确所给集合中角的具体含义，再逐一对照每一个选项，明辨真伪．解：第一象限的角不一定小于（如），故A错；小于的角不一定在第一象限（如），故B错；的角，但的角，故C错；又，因此D对，应选D．说明：角的概念推广后，遇到角的问题，应根据角的范围及相关角的概念进行具体分析．如本题中的“锐角”与“小于的角”就是两个含义不尽相同的概念．例2在～间，求出与下列各角终边相同的角，并判定它们分别是哪一个象限的角．数学驿站（1）；（2）．分析：求解本题，其关键在于正确得到中的值，即用给出的角去除以所得到的整数部分．解：（1）因为，所以即为欲求的角，它在第三象限，从而也是第三象限的角．（2）因为，所以即为所求的角，它是第三象限的角，故也是第三象限的角．说明：在～内求终边与给定的角的终边相同的角时，若题中给定的角是负角，在应用式子表示时，比正常除法所得整数应小一个单位，才能使余数在～内，故这里的只能取－2，而不能