18.1线性规划问题的有关概念

18.1线性规划问题的有关概念授课人：潘红胜例1某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加一份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天各做多少个甲、乙两种馒头才能获利最多？解：设计划做甲种馒头xkg，乙种馒头ykg，所获利润为z元，则：max54zxy32505541205500xyxyxy(1)(2)(3)(4)(5)(1),xy上式中的叫做决策变量，12,xx决策变量也可用表示。(2)记号“max”表示取函数的最大值。(3)式(1)称为目标函数，目标函数可最大化或最小化。(4)式(2)～(5)统称为目标函数的约束条件。例1某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加一份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天各做多少个甲、乙两种馒头才能获利最多？解：设计划做甲种馒头xkg，乙种馒头ykg，所获利润为z元，则：max54zxy32505541205500xyxyxy(1)(2)(3)(4)(5)(5)在数学中，线性规划问题是目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。(6)线性规划问题的三要素：决策变量、目标函数、约束条件(7)决策变量：是线性规划问题要确定的未知量。决策变量有非负的要求例1某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加一份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天各做多少个甲、乙两种馒头才能获利最多？解：设计划做甲种馒头xkg，乙种馒头ykg，所获利润为z元，则：max54zxy32505541205500xyxyxy(1)(2)(3)(4)(5)(8)目标函数：是决策变量的线性函数。根据问题的不同，要求实现最大化或最小化。(9)约束条件：是指决策变量取值时存在一定的限制条件。且表示为线性不定式例1某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加一份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天各做多少个甲、乙两种馒头才能获利最多？解：设计划做甲种馒头xkg，乙种馒头ykg，所获利润为z元，则：max54zxy32505541205500xyxyxy(1)(2)(3)(4)(5)(10)常见的两种线性规划问题：①如何合理利用有限的资源，使其产生最大的效益。②如何制定最佳方案，以尽可能少的资源完成所要做的事情。效益最大化成本最低化例1某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加一份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天各做多少个甲、乙两种馒头才能获利最多？解：设计划做甲种馒头xkg，乙种馒头ykg，所获利润为z元，则：max54zxy32505541205500xyxyxy(1)(2)(3)(4)(5)(12)从实际问题中建立线性规划模型的三个步骤：第一步：确定决策变量；第二步：确定目标函数；第三步：确定约束条件。(11)把实际问题抽象为数学形式的方法叫做数学建模。(建立数学模型)注：本节只建模，不求解。2222300200,70200300,60,mm例，某建筑公司建造居民小区，若建一栋普通的住宅楼需投入资金万元，并占地可获利润万元；若建一栋别墅需投入资金万元，并占地可获利润万元，该公司现有资金9000万元，拍得土地11000m问：应作怎样的投资组合，才能获利最多？解：设建普通住宅楼x栋，别墅y栋，则有：max7060zxy30020090002003001100000xyxyxy解：设该厂生产甲产品x件，乙产品y件，则有：max90100zxy35150095270000xyxyxy练习1，建立下面线性规划问题的数学模型：某厂计划生产甲、乙两种产品，其主要原材料有钢材1500kg,铜材2700kg，每件产品耗材定额(kg)及所获利润(元)如下表，问：如何安排生产能使该厂所获利润最大？甲乙库存原料钢351500铜952700利润90100例3，某运输公司有8辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，并有9名驾驶员，在建造某段高速公路时，公司承包了每天至少运输沥青180t的任务，已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6次，派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元，每天应派出A型和B型卡车各多少辆，能使公司总成本最低？min120200zxy246018090804xyxyxy解：设每天应派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，则有：练习2，某运输公司有8辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，并有9名驾驶员，在建造某段高速公路时，公司承包了每天至少运输沥青180t的任务，已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6次，派出每辆卡车每天可得利润为A型120元，B型200元，每天应派出A型和B型卡车各多少辆，能使公司利润最大？max120200zxy246018090804xyxyxy解：设每天应派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，则有：解：设买A种饲料千克，B种饲料y千克，则有：min0.40.5zxy22103900xyxyxy练习3，建立下面线性规划问题的数学模型：某饲养场要同时用A、B两种饲料喂养动物，要求每头动物每天至少应摄取10个单位的蛋白质和9个单位的矿物质。两种饲料每千克中所含两种成分的数量(单位)及每千克的单价(元)如下表，该饲养场每天要买两种饲料各多少千克，才能满足动物生长的需要，又使费用最省？AB蛋白质22矿物质13单价0.40.5【课堂作业】教程P93，习题1，13,线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题.14,线性规划问题的数学模型都具有的共同特征：(1)，每一个问题都用一组决策变量来表示，这些变量一般情况下取非负值；(2)，存在一定的约束条件，通常用一组一次（线性）不定式或等式表示；(3)，都有一个要达到的目标，用决策变量的一次（线性）函数即目标函数来表示，按问题的不同实现最大化或最小化。【思考】是不是所有求最值的问题都是线性规划问题？譬如说二次函数求最值是不是线性规划问题？15，线性规划数学模型的一般形式：1122max(min)nnzcxcxcx目标函数：约束条件：1111221121122222112212(,)(,)(,),,,0nnnnmmmnnmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbxxx123123123123123124,min,max25335302124105340,0,,0,max200700AzxyBzxxxxxxxyxxxxyxxxxyxxxCzxx例，下面不是线性规划问题的是()22121212,min3227250223100610000DzxyxxxyxxxyxxyxD1231231231234,200+210,max+6325000+330318253000,0,,0,max34AzxyBzxxxxxxxyxyxxxxyxxxCzxyD练习，下面不是线性规划问题的是(),min210432225123930325,000zxyxyxyxyxyxyxyxyA212312312123,max10+5,min2+3428+312326,0,,0,22AzxyBzxxxxxxxyxyxxxyxxxCzxy练习5，下面是线性规划问题的是(),min42212470.52535,000DzxyxyyxyxyxyxyxyxyB祝同学们学习愉快！