21.2-直角坐标系下二重积分的计算--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套

一、在矩形区域上二重积分的计算二、在x型或y型区域上二重积分的计算三、在一般区域上二重积分的计算二重积分计算的要点是把它化为定积分.这里有多种方法,其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分.§2直角坐标系下二重积分的计算数学分析第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.8(,)fxy[,][,]Dabcd在矩形区域上可积,[,],xab(,)ddcfxyy且对每个积分存在,则累次积分d(,)d(,)ddbdbdacacxfxyyfxyyx也存在,(,)dd(,)d.(1)bdacDfxyxfxyy§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算且数学分析第二十一章重积分高等教育出版社()(,)d,dcFxfxyy证令()Fx定理要求证明在[,]ab上可积,且积分的结果恰为二重积分.为此,对区间[,]ab[,]cd与分别作分割01,raxxxb01.scyyyd按这些分点作两组直线(1,2,,1),ixxir(1,2,,1),kyyks214图Oyxcdab1ixixiky1kyik§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算把矩形D分为rs个小矩形(图21-4).数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(,)fxyikikM设在上的上确界和下确界分别为和.ikm1[,]iixx,i在区间中任取一点于是就有不等式1(,)d,kkyikkiikkymyfyyMy其中1.kkkyyy因此1sikkkmy§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算(1,2,,;1,2,,).irks11[,][,]iikkxxyyik为小矩形记()(,)ddiicFfyy1,sikkkMy11rsikkiikmyx1()riiiFx11,(2)rsikkiikMyx1.iiixxx其中ik,ikd记的对角线长度为于是数学分析第二十一章重积分高等教育出版社,||||max.ikikTd由于二重积分存在,由定理21.4,当||||0T时,,ikkiikmyx,ikkiikMyx和有相同的极限,(,)d.Dfxy值等于||||0T因此当时,由不等式(2)§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算可得:||||01lim()(,)d.riiTiDFxfxy(3)使且极限||||0T1max0,iirx由于当时,必有分定义,||||01lim()()dd(,)d.rbbdiiaacTiFxFxxxfxyy(3)式左边因此由定积数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.9也存在,且(,)dd(,)d.dbcaDfxyyfxyxd(,)d(,)dddbdbcacayfxyxfxyyx§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算(,)fxy[,][,]Dabcd在矩形区域上可积,[,],ycd(,)dbafxyx且对每个积分存在,则累次积分定理21.9的证明与定理21.8相仿.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社2()d,Dxy[0,1][0,1].D例1计算其中解应用定理21.8(或定理21.9),有(,)dDfxy3310(1)d33xxx§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算(,)fxy[,][,]Dabcd特别当在矩形区域上连续时,dc(,)dd(,)dd(,)d.bdbacaDfxyxfxyyyfxyx则有11200d()dxxyy7.6数学分析第二十一章重积分高等教育出版社对于一般区域,通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集12{(,)|()(),}(4)Dxyyxyyxaxb为x型区域(图21-5(a));12{(,)|()(),}(5)Dxyxyxxycyd为y型区域(图21-5(b)).§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算称平面点集数学分析第二十一章重积分高等教育出版社当D为x型区域时,垂直于x轴的直线00()xxaxb至多与区域D的边界交于215图(a)x型区域Oxcd(b)y型区域DyOxcdab2()yyx1()yyxDy§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算两点;多与D的边界交于两点.这些区域的特点是:00()yycyd至当D为y型区域时,直线数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.10若(,)fxy在如(4)式所示的x型区域D12(),()yxyx[,]ab上连续,其中在上连续,21()()(,)dd(,)d.byxayxDfxyxfxyy即二重积分可化为先对y、后对x的累次积分.1()yx2()yx[,]ab证由于与在闭区间上连续,故存在矩形区域[,][,]abcdD(如图21-5(a)).§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算则定义在[,][,]abcd上的函数现作一数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(,),(,),(,)0,(,).fxyxyDFxyxyD(,)Fxy[,][,]abcd容易知道函数在上可积,[,][,](,)d(,)dDabcdfxyFxy21()()d(,)dbyxayxxFxyy类似可证,若D为(5)式所示的y型区域,其中§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算1(),xy2()xy[,]cd在上连续,对x、后对y的累次积分而且d(,)dbdacxFxyy21()()d(,)d.byxayxxfxyy则二重积分可化为先21()()(,)dd(,)d.dxycxyDfxyyfxyx数学分析第二十一章重积分高等教育出版社0,x例2设D是由直线1yyx及围成的区域(图21-6),试计算:22edyDIx的值.yxyx216图1DO§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算解若用先对y、后对x的积分,则有21120ded.yxIxxy由于2ey的原函数无法求得,的累次积分来计算:因此改用另一种顺序数学分析第二十一章重积分高等教育出版社21200dedyyIyxx21101ee6y21201d(e)6yy§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算22112001e2ed6yyyyyyxyx216图1DO11.63e21301ed3yyy数学分析第二十一章重积分高等教育出版社例3计算二重积分d,D其中D为由直线2,yx2xy3xy及所围的三角形区域(图21-7).解当把D看作x型区域时,122,01,(),()23,12.xxxyxyxxx217图Ox122yx231D2Dy3xy2xy§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算相应的数学分析第二十一章重积分高等教育出版社所以12dddDDD12012d3d22xxxxxx12220133344xxx§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算12230122ddddxxxxxyxy3.2数学分析第二十一章重积分高等教育出版社解设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为222222.xyaxza与利用对称性,只要求出在第一卦限(即0,0,xy0z)部分(见第十章图10-9)的体积,即得所求的体积.220,0.yaxxaD:22,zax体,曲顶为§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算例4求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.第一卦限部分的立体是一曲顶柱然后再乘以8底为四分之一圆域数学分析第二十一章重积分高等教育出版社18V22302()d.3aaxxa于是316.3Va222200ddaaxxaxy§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算所以它的体积为22dDax数学分析第二十一章重积分高等教育出版社边界为分段光滑曲线的有界闭域,成有限个除边界外无公共内点的x型区域或y型区域.如图21-8所示,D被分218图OxIIIIIIyD为x型区域,为y型区域.II解成三个区域,§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算一般可把它分解其中I,III数学分析第二十一章重积分高等教育出版社22(,)24,(,)DxyxxyxfxyD例5设为上的连续函数，试将二重积分(,)ddDIfxyxy化为不同顺序的累次积分.yx解(1)先对积分,再对积分.221(,)24,02,Dxyxxyxxx123DDDD(见图21-9),为此设Ox219图2D3D1Dy24§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算其中数学分析第二十一章重积分高等教育出版社222(,)42,02,Dxyxxyxxx223(,)44,24.Dxyxxyxxx所以222224220204d(,)dd(,)dxxxxxxxxIxfxyyxfxyy224424d(,)d.xxxxxfxyyxy(2)先对积分,再对积分.类似地有:§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算数学分析第二十一章重积分高等教育出版社1234,DGGGG(见图21-10)2110图Ox2G3G1G4Gy122122224124d(,)dyyIyfxyx22124111d(,)dyyyfxyx22124224d(,)d.yyyfxyx22111124d(,)dyyyfxyx§2直角坐标系下二重积分的计算在矩形区域上二重积分的计算在x型或y型区域上二重积分的计算在一般区域上二重积分的计算数学分析第二十一章重积分高等教育出版社例6计算1dd,4Dxyxy