排列组合中的分组问题

1排列组合中的分组问题单位：新沂市高级中学姓名：宋小林排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组合中的重点也是难点。是许多同学看起来简单而处理问题时又很容易出错的一类题，下面我就排列组合中的分组问题，结合我个人在教学中的体会和做法，谈一些自己的看法。关键词：分组均匀非均匀有序无序排列组合中的分组问题有以下几类：1、不均匀分组无序例1.把6个人分组成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数。（1）分成甲、乙、丙三组，其中甲组3人，乙组2人，丙组1人.（2）分成3组，其中一组3人，一组2人，一组1人.解：本题为非均匀分组问题且与顺序无关（1）从6人中任选3人，为甲组有36C种选法，再从余下的3人中任选2人为乙组，有23C种选法，剩下1人为丙组，故共有36C*23C*11C种不同的分法。（2）先从6人中任选3人为一组有36C种选法，然后从剩下的3人任选2人为一组有23C种选法，最后剩下的一人为一组，故共有36C*23C*11C种不同的分法。点评：由于各组人数不同，故此问题属于非平均分组问题。尽管（1）给出了甲、乙、丙3组，而（2）没有给出，但分组的方法相同。很多同学会把（1）结果误表示为36C*23C*11C*A33种。总结：一般地，把n个不同元素，不平均的分成m组，)(Nnm、共有1321211mmnnnnnnnnnnnCCCC种分法其中),(321321nnnnnnnnnmm2、平均分组无序例2.有六本不同的书，分成如下两组，分别求出以下分组的方法数。（1）每组两本（2）一组四本，另外两组各一本2解：（1）平均分组问题，且与顺序无关分组数为1533222426ACCC（种）而此题许多同学会写成90222426CCC（种）。实际上，上述问题重复了6次。为了方便期间，我们不妨把6本不同的书标上序号1、2、3、4、5、6，下面我们来看以下的分组：（1，2）（3，4）（5，6），（1，2）（5，6）（3，4）（5，6）（1，2）（3，4），（5，6）（3，4）（1，2）（3，4）（1，2）（5，6），（3，4）（5，6）（1，2）由于我们是均匀分组且是无序的故上述6种分法只能算作一种，所以重复了6次。（2）部分平均分组，且与顺序无关分组数为1522111246ACCC（种）。与问题（1）类似由于有两个组是1本，中间出现重复。总结2：一般地n个不同元素平均成m组，且与顺序无关，共有mmnnnnnnnnnnnACCCCnm321211种分法。其中),(321Nnmmnnnnnm3、不均匀分组有序例3.有六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本，共有多少种不同分法？解：此题属于不平均分组，且有顺序问题。其实质问题是先分组，再排列。故可将六本不同的书分成三组有360132336CCC（种）总结3：一般地，将n个不同元素非平均地分成m组且与顺序有关，共有：mmnnnnnnnnnnnACCCCmm1321211种分法其中)(321321mmnnnnnnnnn且4、平均分组有序例4.有6本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人四本，一人一本，一人一本解：（1）六本不同的书平均分成三组有903333222446AACCC（种）不同分法。（2）同理：由问题（1）知3共有mmmmnnnnnnnnnnnnAACCCCn2321211种分法，其中)(321mnnnnnm。总之，掌握了上述4个结论，对于解决排列组合中的分组问题应该会是游刃有余。另外，还可以将其它问题转化为分组问题来解。例如：苏教版选修2-3习题1.4第九题4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒子的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则另外的3个盒子中的小球数分别为1，1，2。实际上可以转化为先将四个不同的小球分为三组，其中一组2个，两外两组各1个。分组的方法共有22223141ACCC种，然后将三组分给四个不同盒子中的三个的排列问题，故共有22223141ACCC34A=144（种）。