正四面体二面角8种求法(教师版)

1二面角求法例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。解：取BC中点E，连接OE、O1E，易证⊿BOC、⊿BO1C是等腰三角形。∴OE⊥BC，O1E⊥BC，∴∠OEO1是二面角O1-BC-O的平面角，连OO1，OO1⊥平面ABCD，∴OO1⊥OE在RT⊿OEO1中，OO1=1，DE=21∴tan∠OEO1=22111OEOO∴所求二面角θ=arctan2。例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。解：连B1D1交EF于G，连BD交AC于O，作GH⊥BD，H是垂足，连GO，易证GO⊥AC，又BD⊥AC∴∠GOH是所求二面角的平面角，GH=1，OH=42∴tan∠GOH=22421OHGH∴所求二面角θ=arctan22。利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。例1中E点，例2中O点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。例题3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-AC-B1的大小。解：连接BD交于AC为O点，连OB1，∵BB1⊥平面ABCD，BO⊥AC∴B1O⊥AC，∠BOB1是二面角B-AC-B1的平面角，tan∠BOB1=22211BOBB∴所求二面角θ=arctan2.例题4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1与平面BDC1所成的二面角。解：设AC与BD交于E，CD1与C1D交于F，连EF是所求二面角B-EF-C的棱，连A1C，易证A1C⊥平面BDC1，垂足为H，取AD1中点O，连OC交EF于G，连GH。∵EF∥AD1，OC⊥AD1∴OC⊥EF即CG⊥EF。根据三垂线定理逆定理得GH⊥EF∴∠CGH是所求二面角的平面角。先求得:CG=21OC=46)22()2(2122CH=31A1C=33)2(13122HOGFEADD1C1B1A1CBOADD1C1B1A1CBO1OEADD1C1B1A1CBHGFOEADD1C1B1A1CB2∴sin∠CGH=3224633CGCH∴所求二面角θ=arctan322。利用三垂线定理寻求作二面角的平面角要注意取点。例3中的B点、例4中的C点都是题中特殊位置的点。例题5：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C-D的大小。解：连接BD、BC1、DC1即作了平面BDC1交AC1于H点，再连接BH、DH，易证A1C⊥BD，A1C⊥BC1∴A1C⊥平面BDC1。连接三线所得平面BDC1是棱A1C的垂面，∴A1C⊥BH，A1C⊥DH，∴∠BHD是所求二面角B-A1C-D的平面角，又∵BD=BC1=DC1=2，在正三角形中易得∠BHD=1200。∴所求二面角θ=1200。例题6：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DD1的中点，求平面BC1D与平面EC1F所成的二面角。解：平面BC1D与平面EC1F交点是C1，且根据已知条件得BD∥EF∴可知所求二面角的棱是经过C1且平行于BD和EF的直线l，连A1C1、AC，平面ACC1A1与BD交于H、与EF交于G，连C1G、CH∵l∥BD，易证BD⊥平面ACC1A1，∴l⊥平面ACC1A1，则由线面垂直法得∠HC1G是所求二面角的平面角。GH=21，C1H=2623)22(122，C1G=23)22()21(22在⊿GHC1中，由余弦定理得：cos∠HC1G=32226232)21()26()23(222∴322arccos利用线面垂直法要根据条件寻作棱的特殊位置上的垂面，并找准面面交线所成的平面角。例题7：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面BDC1与平面ACC1A1所成的二面角。解：连接A1C1，易证A1C⊥平面BDC1（或证明BD⊥ACC1A1也可以），即判定了平面ACC1A1⊥平面BDC1∴所求两平面所成的二面角是900。例题8：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1、O是上下底面正方形的中心，V是OO1的中点，求平面AVB与平面CVD所成的二面角。解：取正方形BB1C1C和AA1D1D的中心H、G，易证G、V、H是共线。即GH是所求二面角的交线。∵BH⊥CH，BH⊥CDOADD1C1B1A1CBHADD1C1B1A1CBlGEFHADD1C1B1A1CB3∴BH⊥平面CHGD∴平面ABHG⊥平面CDGH即得：平面AVB⊥平面CVD所求两平面所成的二面角是900。例题9：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，H是BC棱上一点且BH：BC=1：3，求二面角H-AA1-C1的大小。解：此题难度不大，但可用公式法解，A1C1即a线，AH即b线，连C1H即EF，A1C1即m=2，A1A即d=1，AH即n=310)31(122，C1H即EF=313)32(122代入公式得：55231022)313()310()2(12cos22222222mnEFnmd∴所求二面角552arccos例题10：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1、O是上下底面正方形的中心，E是AB棱上一点，且AE：EB=1：2，求二面角A1-O1O-E的大小。解：用公式：EF=cos2222mnnmdA1O1与EO是两条异面直线，m=A1O1=22，d=OO1=1，n=OE=6101)31(2122，公式中EF即A1E=3101)31(22552610222)310()610()22(12cos22222222mnEFnmd∴所求二面角552arccos此公式法求二面角大小要注意公式中EF、d、m、n、θ的特定位置，并要已知或易求其中EF、d、m、n四个量才可以求得θ。例题11：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，G、E、F是所在棱的中点，求平面EFG与平面ABCD所成的二面角。解：此题所求二面角棱线隐含，用平行移动法将平面EFG移到平面B1CD1或移到平面BA1D，在正方体中易证平面EFG∥平面B1CD1∥平面BA1D，只要求出平面B1CD1或平面BA1D与底面ABCDVOO1HGADD1C1B1A1CBdmnHADD1C1B1A1CBEOO1ADD1C1B1A1CBEGFO1OADD1C1B1A1CB4所成二面角，连接A1O、AC，∠A1OA是二面角A-BD-A1的平面角。在Rt⊿AOA1中，tan∠A1OA=22211ADAA∴平面EFG与平面ABCD所成的二面角是arctan2。例题12：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是上底面正方形的中心，E、F是AB、CD的中点，求平面AO1D与平面EO1F所成的二面角。解：设O是下底面正方形的中心，O必在EF上，取B1C1中点G，连接O1O、EG、FG、OG，易证AO1∥EG，DO1∥FG，AD∥EF，∴平面AO1D∥平面EGF，题中所求二面角平行移动后即求二面角O1-EF-G的大小，而∠GOO1是平面角，tan∠GOO1=2112111OOGO∴所求二面角21arctan平行移动法求二面角要注意所移动的平面是以图中特殊线来平行移动为宜。例题13：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F：FA=1：2，求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角。解：取E1为B1C1的中点，连接EE1、A1E1、EF、AE，易证⊿A1B1E1是截面B1EF中⊿B1EF在底平面上的射影。可算得：45411)21(1222AE，94)32(22AF，366194452EF，910)31(1222BF，45)21(12221EB，在⊿EFB1中，5232536242531023661459102cos11221211FBEBEFFBEBFEB，523)52(1sin221FEB，∴S⊿EFB1=12465232102521sin21111FEBFBEBS⊿A1B1E1=412112121111EBBA，则利用投影面积法公式cosθ=46463124641SSEFBEBA1111∴所求二面角46463arccos。例题14：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求平面AED1与平面ABCD所成二面角。解：连接AC，⊿ACD是平面AED1中⊿AED1在GO1FOEADD1C1B1A1CBEE1FA1D1DCBAC1B1EADD1C1B1A1CB5底平面ABCD上的射影，S⊿ACD=21，AD1=2，AE=23)21()2(22，ED1=25)21(122，cos∠EAD1=222322)25()23()2(2222121221AEADEDAEAD，sin∠EAD1=22，S⊿AED1=432223221sin2111EADAEAD∴324321cos1AEDACDSS，∴所求二面角32arccos。利用投影面积法求二面角的大小无须寻作二面角的平面角，解题方便。例题15：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-A1C-D的大小。解：把二面角A-A1C-D当作是棱锥D-A1AC的一个侧面CDA1与底面ACA1的所成二面角来求，易计算有关的量：棱锥D-A1AC的体积V=611)1121(31311AASACD，a即A1C=3，S1=S⊿A1CD=221221，S=S⊿A1AC=222121，∴2322222613323sin1SSVa∴所求二面角θ=600。例题16：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N是所在棱的中点，求平面MDN与底面ABCD所成二面角。解：取AD的中点H，连接MH、NH、AN，MH=1是棱锥M-HND的高，ND=25)21(122，S⊿NHD=411212121NHDH，VM-HND=1211413131MHSNHD，MN=2，MD=ND=25，作DG⊥MN，DG=23)22()25(2222MGMD，∴S⊿MDN=462322121DGMN，根据棱锥体积法630654641212125323sinMNDNHDHDNMSSVND∴所求二面角θ=arcsin630。ADD1C1B1A1CBGNHMADD1C1B1A1CB