2018年军考数学真题及参考答案

1/92018年解放军军考数学真题关键词：2018军考真题，2019军考，德方军考，军考数学，军考资料，军考视频，军考辅导德方军考寄语首先预祝你2019年军考取得好成绩！军考真题的参考意义巨大，希望你好好利用这份军考真题。如果你有些军考真题不会做，可以下载军考通APP，上面有真题讲解的视频课。此外，还有军考考点精讲、教材习题精讲和专项突破视频课程，相信对你的军考备考会很有帮助，现在军考通APP视频课免费公开了20%。一、单项选择（每小题4分，共36分）1.设集合𝑆={𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒}，则包含元素𝑎，𝑏的𝑆的子集共有.A.2个B.3个C.4个D.8个2.下列函数中，满足“𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)”的单调递增函数是.A.𝑓(𝑥)=𝑥12B.𝑓(𝑥)=𝑥3C.𝑓(𝑥)=3𝑥D.𝑓(𝑥)=(12)𝑥3.设𝑎,𝑏为正实数，则“𝑎𝑏1”是“log2𝑎log2𝑏0”的.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若𝑎0，𝑏0，且函数𝑓(𝑥)=4𝑥3−𝑎𝑥2−2𝑏𝑥+2在𝑥=1处有极值，则𝑎𝑏的最大值等于.A.9B.6C.3D.25.直线𝑙经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到𝑙的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为.A.13B.12C.23D.346.记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和.若𝑎4+𝑎5=24，𝑆6=48，则{𝑎𝑛}的公差为.A.1B.2C.4D.87.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和是3或6的概率是.A.15B.310C.110D.1128.若直线𝑎∥平面𝛼，直线𝑏∥平面𝛼，则𝑎与𝑏的位置关系是.A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能9.已知直线𝑦=𝑘𝑥+1与曲线𝑦=𝑥3+𝑎𝑥+𝑏切于点(1，3)，则𝑏的值为.A.3B.−3C.5D.−5二、填空题（每小题4分，共32分）2/910.设𝒂，𝒃的夹角为120°，|𝒂|=1，|𝒃|=3，则|3𝒂−𝒃|=.11.设𝜃为第二象限角，若tan(𝜃+π4)=12，则sin𝜃+cos𝜃=.12.若双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)的一条渐近线被圆(𝑥−2)2+𝑦2=4所截得的弦长为2，则𝐶的离心率为.13.若曲线𝑦=2𝑥2的一条切线𝑙与直线𝑥+4𝑦−8=0垂直，则切线𝑙的方程为.14.若（2𝑥2−1𝑥3）𝑛(𝑛∈𝑁∗)展开式中存在常数项，则𝑛的最小值是.15.有3位司机，6位售票员分配到3辆公共汽车上工作，每一辆汽车分别有一位司机和两位售票员，那么所有不同的分配方法有种.16.在极坐标系中，点（2，𝜋6）到直线𝜌sin𝜃=2的距离等于.17.若复数(1+𝑚𝑖)(3+𝑖)（𝑖是虚数单位，𝑚是实数）是纯虚数，则复数𝑚+2𝑖1−𝑖的模等于.三、解答题（共7小题，共82分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）18.（8分）已知𝑓(𝑥)=2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，不等式𝑓(𝑥)0的解集是（0，5）.（1）求𝑓(𝑥)的解析式；（2）对于任意𝑥∈[−1，1]，不等式𝑓(𝑥)+𝑡≤2恒成立，求𝑡的取值范围.19.（10分）设△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑎+𝑐=6，𝑏=2，cos𝐵=79.（1）求𝑎，𝑐的值；（2）求sin(𝐴−𝐵)的值.20.（12分）设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，点(𝑎𝑛，𝑏𝑛)在函数𝑓(𝑥)=2𝑥的图像上(𝑛∈𝑁∗).（1）若𝑎1=−2，点(𝑎8，4𝑏7)在函数𝑓(𝑥)的图像上，求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛；3/9（2）若𝑎1=1，函数𝑓(𝑥)的图像在点(𝑎2，𝑏2)处的切线在𝑥轴上的截距为2−1ln2，求数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.21.（12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（1）至少有1人面试合格的概率；（2）签约人数𝜉的分布列和数学期望.22.（14分）已知椭圆𝑥2+2𝑦2=1，过原点的两条直线𝑙1和𝑙2分别与椭圆交于𝐴、𝐵和𝐶、𝐷，设△A𝑂𝐶的面积为𝑆.（1）设𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐶(𝑥2，𝑦2)，用𝐴、𝐶的坐标表示点𝐶到直线𝑙1的距离，并证明𝑆=12|𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1|；（2）设𝑙1：𝑦=𝑘𝑥，𝐶(√33，√33)，𝑆=13，求𝑘的值；（3）设𝑙1与𝑙2的斜率之积为𝑚，求𝑚的值，使得无论𝑙1与𝑙2如何变动，面积𝑆保持不变.23.（12分）某店销售进价为2元/件的产品𝐴，该店产品𝐴每日的销量𝑦（单位：千件）与销售价格𝑥（单位：元/件）满足关系式𝑦=10𝑥−2+4(𝑥−6)2，其中2𝑥6.（1）若产品𝐴销售价格为4元/件，求该店每日销售产品𝐴所获得的的利润；（2）试确定产品𝐴的销售价格，使该店每日销售产品𝐴所获得的的利润最大（保留1位小数）.4/924.（14分）如图所示，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°.点𝐷，𝐸，𝑁分别为棱𝑃𝐴，𝑃𝐶，𝐵𝐶的中点，𝑀是线段𝐴𝐷的中点，𝑃𝐴=𝐴𝐶=4，𝐴𝐵=2.（1）求证：𝑀𝑁∥平面𝐵𝐷𝐸；（2）求二面角𝐶−𝐸𝑀−𝑁的正弦值；（3）已知点𝐻在棱𝑃𝐴上，且直线𝑁𝐻与直线𝐵𝐸所成角的余弦值为√721，求线段𝐴𝐻的长.5/92018年解放军军考数学真题答案一、单项选择（每小题4分，共36分）1.D2.C3.A4.A5.B6.C7.B8.D9.A二、填空题（每小题4分，共32分）10.3√311.−√10512.213.4𝑥−𝑦−2=014.515.54016.117.√262三、解答题（共7小题，共82分）18.本题满分8分解：（1）∵不等式2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0的解集是（0，5），∴方程2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的两根为0，5.∴0+5=−𝑏2，0×5=c，即𝑏=−10，𝑐=0，故𝑓(𝑥)=2𝑥2−10𝑥.（2）∀𝑥∈[−1，1]，不等式𝑓(𝑥)+𝑡≤2恒成立，只需𝑓𝑚𝑎𝑥(𝑥)≤2−𝑡即可.∵𝑓(𝑥)=2𝑥2−10𝑥=2(𝑥2−5𝑥)=(𝑥−52)2−252，𝑥∈[−1，1]，∴𝑓𝑚𝑎𝑥(𝑥)=𝑓(−1)=12.故12≤2−𝑡，即𝑡≤10.19.本题满分10分解：（1）由余弦定理𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵，得𝑏2=(𝑎+𝑐)2−2𝑎𝑐(1+cos𝐵)，又(𝑎+𝑐)=6，𝑏=2，cos𝐵=79，所以𝑎𝑐=9，解得𝑎=3，𝑐=3.（2）在△𝐴𝐵𝐶中，sin𝐵=√1−cos2𝐵=4√29，由正弦定理得sin𝐴=𝑎sin𝐵𝑏=2√23，因为𝑎=𝑐，所以𝐴为锐角，所以cos𝐴=√1−sin2𝐴=13，因此sin(𝐴−𝐵)=sin𝐴cos𝐵−cos𝐴sin𝐵=10√22720.本题满分12分解：（1）因为点(𝑎𝑛，𝑏𝑛)在函数𝑓(𝑥)=2𝑥的图像上，所以𝑏𝑛=2𝑎𝑛，可得𝑏𝑛+1𝑏𝑛=2𝑎𝑛+12𝑎𝑛=2𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2𝑑.6/9因为点(𝑎8，4𝑏7)在函数𝑓(𝑥)的图像上，所以4𝑏7=2𝑎8=𝑏8.所以2𝑑=𝑏8𝑏7=4⇒𝑑=2，又𝑎1=−2，所以数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)𝑑2=−2𝑛+𝑛2−𝑛=𝑛2−3𝑛（2）由𝑓(𝑥)=2𝑥⇒𝑓′(𝑥)=2𝑥ln2，所以函数𝑓(𝑥)的图像在点(𝑎2，𝑏2)处的切线方程为𝑦−𝑏2=(2𝑎2ln2)(𝑥−𝑎2)，故切线在𝑥轴上的截距为𝑎2−1ln2，从而𝑎2−1ln2=2−1ln2，故𝑎2=2.从而𝑎𝑛=𝑛，𝑏𝑛=2𝑛，𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑛2𝑛.𝑇𝑛=12+222+323+⋯+𝑛2𝑛上式两边同乘以12，可得12𝑇𝑛=122+223+324+⋯+𝑛2𝑛+1两式右边错项相减可得12𝑇𝑛=12+122+123+124+⋯+12𝑛−𝑛2𝑛+1=1−12𝑛−𝑛2𝑛+1=1−𝑛+22𝑛+1故𝑇𝑛=2−𝑛+22𝑛.21.本题满分12分.解：用𝐴、𝐵、𝐶分别表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意可知𝐴、𝐵、𝐶相互独立，且𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)=𝑃(𝐶)=12（1）至少有1人面试合格的概率是1−𝑃(𝐴𝐵𝐶)=1−𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=1−(12)3=78（2）𝜉的可能取值为0，1，2，3.𝑃(𝜉=0)=𝑃(𝐴𝐵𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶).=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)+𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)+𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=(12)3+(12)3+(12)3=38.𝑃(𝜉=1)=𝑃(𝐴𝐵𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)+𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)+𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=(12)3+(12)3+(12)3=38.𝑃(𝜉=2)=𝑃(𝐴𝐵𝐶)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=18.𝑃(𝜉=3)=𝑃(𝐴𝐵𝐶)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=18.7/9所以，𝜉的分布列如下表𝜉的期望是𝐸(𝜉)=0×38+1×38+2×18+3×18=1.22.本题满分14分解：（1）直线𝑙1的方程为𝑦1𝑥−𝑥1𝑦=0，由点到直线的距离公式可知点𝐶到直线𝑙1的距离为𝑑=|𝑦1𝑥2−𝑥1𝑦2|√𝑥12+𝑦12，因为|𝑂𝐴|=√𝑥12+𝑦12，所以，𝑆=12|𝑂𝐴|∙𝑑=|𝑦1𝑥2−𝑥1𝑦2|2.（2）由{𝑦=𝑘𝑥𝑥2+2𝑦2=1，消去𝑦解得𝑥12=11+2𝑘2，由（1）得𝑆=12|𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1|=12|√33𝑥1−√33𝑘𝑥1|=√3|𝑘−1|6√1+2𝑘2，由题意知√3|𝑘−1|6√1+2𝑘2=13，解得𝑘=−1或𝑘=−15.(3)设𝑙1：𝑦=𝑘𝑥，则𝑙2：𝑦=𝑚𝑘𝑥，设𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐶(𝑥2，𝑦2)由{𝑦=𝑘𝑥𝑥2+2𝑦2=1，得𝑥12=11+2𝑘2，同理𝑥22=11+2(𝑚𝑘)2=𝑘2𝑘2+2𝑚2，由(1)知，𝑆=12|𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1|=12|𝑥1∙𝑚𝑥1𝑘−𝑥2∙𝑘𝑥1|=12∙|𝑘2−𝑚||𝑘|∙|𝑥1𝑥2|=|𝑘2−𝑚|2√1+2𝑘2∙√𝑘2+2𝑚2，整理得(8𝑆2−1)𝑘4+(4𝑆2+16𝑆2𝑚2+2𝑚)𝑘2+(8𝑆2−1)𝑚2=0，由题意知𝑆与𝑘无关，𝜉0123𝑃383818188/9则{8𝑆2−1=04𝑆2+16𝑆2𝑚2+2𝑚=0，解得{𝑆2=18𝑚=−12，所以𝑚=−12.23.本题满分12分解：(1)当𝑥=4时，𝑦=102+4×(4−6)2=21，此时该店每日销售产品𝐴所获得的利润为(4−2)×