直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题

直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点(切点）；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd二、切线的判定定理与性质（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图）①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°∴在中，∠C=45°∴CD=AD∵BC=6cm∴∴NMAOPBAOBACDO∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD与⊙O相切理由：①C点在⊙O上（已知）②∵AB是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上：CD是⊙O的切线．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA（证明）四、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，PODCBAPBAO∴PAPBPCPD（相似）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径ABCD，∴2CEAEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴2PAPCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE五、三角形的内切圆（1）定义：与三角形三边都相切的圆（角平分线的交点）（2）内心、外切三角形例1：如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（）1、如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、21BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与⊙0相切．六、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；OEDCBADECBPAODECBPAO内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；图1rRd图3rRd例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．（1）(2)解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？AO图2rRd图4rRd图5rRd(1)(2)(2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA－rO．解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15－7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．答（1）AB=51+3，外离．（2）设B（x，0）x≠－2，则AB=29x，⊙B半径为│x+2│，①设⊙B与⊙A外切，则29x=│x+2│+1，当x－2时，29x=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），当x－2时，29x=－x－1，化简得x=4－2（舍），②设⊙B与⊙A内切，则29x=│x+2│－1，当x－2时，29x=x+1，得x=4－2，∴B（4，0），当x－2时，29x=－x－3，得x=0，七、两圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。即：∵⊙1O、⊙2O相交于A、B两点∴12OO垂直平分AB八、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12RtOOC中，22221122ABCOOOCO；BAO1O2CO2O1BA_A_y_x_O（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。九、圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA.ECBADOBAODCBAO基础训练1．填表：直线与圆的位置关系图形公共点个数公共点名称圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系直线的名称相交相切相离2．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为_____．3．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，52，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是______，_______，_______．4．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含5．下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交．A．①②③B．①②C．②③D．③6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切7．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切？8．如图，⊙O的半径为3cm，弦AC=42cm，AB=4cm，若以O为圆心，再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？◆提高训练9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m的取值范围是_______．10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，2长为半径的圆与直线AC，EF，CD的位置关系分别是什么？12．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线L的距离OP为7cm，如图所示．（1）怎样平移直线L，才能使L与⊙O相切？（2）要使直线L与⊙O相交，应把直线L向上平移多少cm？13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，那么:（1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；（2）当直线AB与⊙C相离时，求r的取值范围；（3）当直线AB与⊙C相交时，求r的取值范围．14．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、选择题：1．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定2．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）A．8B．4C．9．6D．4．83．⊙O内最长弦长为m，直线l与⊙O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是（）A．d=mB．d＞mC．d＞2mD．d＜2m4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定6．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为63，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定7．下列四边形中一定有内切圆的是（）A．直角梯形B．等腰梯形C．矩形D．菱形8．已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条角平分线交点D．三条边的垂直平分线的交点9．给出下列命题：①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、证明题1．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．2．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？⊙C与AB相切？4．如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？5．设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2dx＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．6．如图，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形．（要