1.2.2.2-组合2

•掌握有限制条件的组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力．•本节重点：有限制条件的组合问题及组合的应用．•本节难点：有限制条件的组合问题．•1．解答组合应用题的总体思路•(1)整体分类•对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理．•(2)局部分步•整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复．计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理．•(3)考查顺序•区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题属排列问题．•(4)辩证地看待“元素”与“位置”•排列组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些看成元素或位置，要视具体情况而定，有时“元素选位置”，有时“位置选元素”．•(5)把实际问题抽象成组合模型•认真审题，把握问题的本质特征，抽象概括出常规的数学模型．•2．解答组合应用题的思想方法•(1)“取法”和“剩法”一一对应的思想．•(2)特殊到一般的归纳推理方法．•(3)正难则反的转化与化归思想．•(4)“含”与“不含”某元素的分类讨论思想．•组合应用题一般可分为两类，一是条件的组合问题，一是条件的组合问题．无限制有限制•[例1]现有男生5名，女生4名．•(1)从中选2名同学去参加会议，有多少种不同选法？•(2)从中选男、女生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？•[分析]所选学生只与学生(元素)有关，而与学生的顺序无关，因此是组合问题．[解析](1)选2名学生不分男女，即从9名中任取2名即可，有C29＝36(种)方法．(2)选2个男生，2个女生，必须分两步进行：第一步选男生：有C25种方法，第二步选女生：有C24种方法，由分步乘法计数原理，共有：C25·C24＝60(种)方法．•已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有________种可能．(用数字作答)[解析]完成这件事可以分两步进行：第一步：从甲组中抽取4人，有C48种方法；第二步：从乙组中抽取4人，有C48种方法．由分步乘法计数原理，比赛人员的组成共有C48·C48＝4900(种).•[例2]课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？•(1)至少有一名队长当选；•(2)至多有两名女生当选；•(3)既要有队长，又要有女生当选．•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①至少一名队长当选可分为一名队长当选和两名队长当选两类情况讨论；②至多两名女生当选可分为两名女生，一名女生和没有女生当选三类情况；③既要有队长，又要有女生当选，可把身兼“双重角色”的女队长作为特殊元素，以其当选和不当选为依据分类讨论．解答本题可先根据题意适当分类，再用分类加法计数原理求解．[解析](1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)．或采用排除法有C513－C511＝825(种)．(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C412种；第二类：女队长不当选，有(C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44)种．故共有C412＋C14·C37＋C24＋C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．•[点评]有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”的问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．•有8名男生和5名女生，从中任选6人：•(1)有多少种不同的选法？•(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？•(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选择？[解析](1)是无限制条件的组合问题．适合题意的方法总数为C613＝1716种．(2)是有限制条件的组合问题．第1步，选出女生，有C35种，第2步，选出男生，有C38种．由分步乘法计数原理，适合题意的选法有C35·C38＝560种．(3)是有限制条件的组合问题．至多有3名女生包括，没有女生，1名女生，2名女生，3名女生四种情况：第1类，没有女生，有C68种，第2类，1名女生，有C58·C15种，第3类，2名女生，有C48C25种，第4类，3名女生，有C38C35种．由分类加法计数原理，适合题意的选法共有C68＋C58C15＋C48·C25＋C38C35＝1568种.•[例3]平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？•[分析]该问题显然可看作一个组合问题，但应注意有4个点共线这一限制条件．[解析]我们把从共线的4个点取点的多少作为分类的标准．第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C24·C18＝48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C14·C28＝112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．•[点评]处理几何中的计数问题时要抓住“对应关系”，如不共线三点对应一个三角形，不共面四点可以确定一个四面体等．可借助于图形思考问题，要善于利用几何的有关性质或特征解题．避免重复或遗漏．•(1)空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可决定多少个不同的平面？[解析]这个问题可分四类加以考虑．①5个共面点决定1个平面；②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点决定7C25个平面；③5个共面点中任一点和其余7个点中任意2个点决定5C27个平面；④7个点中任何3个点决定C37个平面．∴总共决定平面的个数为1＋7C25＋5C27＋C37＝211(个)．[解析]三棱柱的6个顶点共确定(C46－3)个不同的四面体．又每个四面体有3对异面直线，∴可确定的异面直线有3(C46－3)＝36对.•(2)三棱柱的6个顶点共确定15条直线，其中有________对异面直线．•[答案]36•[例4]有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通．从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？•[分析]应首先考虑两名英日语都精通的人如何分组．[解析]按“英、日语都会的人”的参与情况，分成三类：第一类：“英、日都会”不参加，有C45C44种．第二类：“英、日都会”有一人参加．该人可参加英语、也可参加日语，因而有C12C35C44＋C12C45C34种．第三类：“英、日都会”均参加，这时又分为三种情况：两人都译英语、两人都译日语、一人译英、一人译日，因而有C25C44＋C45C24＋C12C35C34种．综上可得：共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C25C44＋C45C24＋C12C35C34＝185(种)．•[点评]解此种类型的题时应注意分类的方法，体会分类方法在解组合问题中的应用．•车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？[解析]2名老师傅都不当钳工的选法有C45·C46＝75(种)；2名老师傅有1人当钳工的选法有C12·C35·C45＝100(种)；2名老师傅都当钳工的选法有C22·C25·C44＝10(种)．∴一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．[例5]某大学要从16名大学生(其中男学生10名，女学生6名)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”．(1)如果小组中至少有3名女生，可组成多少个不同的小组；(2)如果小组中至少有5名男生，可组成多少个不同的小组；(3)如果小组中至多有3名女生，可组成多少个不同的小组．[解析](1)至少有3名女生的不同的小组可划分为如下四类：有3名女生的不同小组数为C36·C510；有4名女生的不同小组数为C46·C410；有5名女生的不同小组数为C56·C310；有6名女生的不同小组数为C66·C210.∴至少有3名女生的不同小组数为C36·C510＋C46·C410＋C56·C310＋C66·C210＝20×252＋15×210＋6×120＋1×45＝8955.(2)至少有5名男生的不同小组数，可划分为如下四类：有5名男生的不同小组数：C510·C36；有6名男生的不同小组数：C610·C26；有7名男生的不同小组数：C710·C16；有8名男生的不同小组数：C810·C06；∴至少有5名男生的不同小组数为C510·C36＋C610·C26＋C710·C16＋C810·C06＝252×20＋210×15＋120×6＋45×1＝8955.(3)至多有3名女生的不同小组数，可以划分为如下四类：不含女生的不同小组数：C810·C06；只含1名女生的不同小组数：C16·C710；只含2名女生的不同小组数：C26·C610；只含3名女生的不同小组数：C36·C510；∴至多有3名女生的不同小组数为C810·C06＋C16·C710＋C26·C610＋C36·C510＝45×1＋6×120＋15×210＋20×252＝8955.•[点评]根据问题的要求，恰当的分类是解决本题的关键．•解决所谓“最多”或“至少”类型问题是组合问题中常见的问题，要注意掌握规律和方法．一、选择题1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A．C32197·C23B．C33C2197＋C23C3197C．C5200－C5197D．C5200－C13C4197[解析]至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共C23C3197种，(2)3件次品，2件正品，共C33C2197种，由分类加法计数原理得抽法共有C23C3197＋C33C2197，故选B.•[答案]B•2．某研究机构准备举办一次有关数学的新课程研讨会，共邀请了50名一线的教师参加．经统计使用不同版本教材的教师人数如下表所示：版本人教A版人教B版苏教版北师大版湘教版人数20125103[解析]2人使用相同版本教材的种数是C220＋C212＋C25＋C210＋C23＝314种，故选C.•从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的种数是•()•A．190种B．295种C．314种D．400种•[答案]C[解析]用间接法得不同选法有C46－1＝14种，故选A.•3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为•()•A．14B．24C．28D．48•[答案]A•二、填空题•4．从1,2,3,5,7这五个数字中任取2个，能组成的真分数个数是________．•[答案]10[解析]由题意得是一个组合问题，个数为C25＝10个．[解析](1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有C28C210＝1260(个)．(2)第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有C18C110＝80(个)．•5．在同一个平面内有一组平行线8条，另一组平行线10条．•(1)它们共能构成________个平行四边形；•(2)共有________个交点．•[答案]126080•三、解答题•6．某人射击7枪，击中了5枪，问•(1)击中和未击中的不同顺序情况有多少种？•(2)若已知前3枪击中2枪，则击中和未击中的不同顺序情况有多少种？[解析](1)由题意得，只要从射击