08竞赛辅导─三角函数(一)三角函数的性质及应用

1反三角函数思考1引入知识要点思考2课外思考P竞赛辅导─三角函数(一)三角函数的性质及应用2三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．第一讲─三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用竞赛辅导─三角函数(一)3第一讲─三角函数的性质及应用三角函数的性质的基本知识见《教程》183P,自学课本例1、例2、例5、例6.注意:三角函数在其定义域上是没有反函数的.(∵不是一一映射,同一个三角函数值会对应许多角)但是人们需要解决已知三角函数值求未知角的问题.为了更好解决此类问题而定义了反三角函数:你知道反三角函数吗?如:⑴反正弦函数arcsin(1,1)yxx,值域为,22它是函数sin(,)22yxx的反函数.这里的“sinarca”是一个角的符号.4反余弦反正切⑴反正弦函数arcsin(1,1)yxx,值域为,22它是函数sin(,)22yxx的反函数.这里的“sinarca”是一个角的符号.这个角“sinarca”落在,22上,且sin(sin)arcaa反过来,如果角,22x,且sinxa,则sinarcax即sin(sin)(,)22arcxxx⑵反余弦函数⑶反正切函数类似地,还可定义:你认为应怎样定义?5⑵反余弦函数arccos(1,1)yxx,值域为0,这里的“cosarca”也是一个角的符号.这个角“cosarca”落在0,上,且cos(cos)arcaa反过来,如果角0,x,且cosxa,则cosarcax即cos(cos)(0,)arcxxx它是函数cos(0,)yxx的反函数.因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间.你认为又应怎样定义反正切呢?6⑶反正切函数arctan()yxxR,值域为(,)22它是函数tan((,))22yxx的反函数.这里的“tanarca”也是一个角的符号.这个角“tanarca”落在(,)22上,且tan(tan)arcaa反过来,如果角(,)22x,且tanxa,则tanarcax即tan(tan)((,))22arcxxx⑷反余切函数arccot()yxxR,值域为(0,)它是函数cot((0,))yxx的反函数.7思考1.⑴(教程204P例1)函数21cos()2yarcx的值域是()(A),26(B),23(C),6(D),3⑵(教程204P例2)设2()fxxx,1sin3arc,5tan4arc,1cos()3arc,5cot()4arc,则()(A)()()()()ffff(B)()()()()ffff(C)()()()()ffff(D)()()()()ffff练习1DB8练习1.⑴(教程209P训练1)已知3(,)22,则cos(sin)arc等于()(A)2(B)(C)2(D)32⑵(教程210P训练2)设1()tansin2fxarcxarcx的值域为()(A)(,)(B)3,44(C)33(,)44(D),22⑶(教程211P训练9)若sin(sinsin)sin(sinsin)2arcarc,则22sinsin的值是______.CD129思考2:设0,x,试比较cos(sin)x与sin(cos)x大小.思考3法一练习2思考3:求函数2sin(2)3yx的单调增区间.分析:分析比较对象的结构,没有现成的结论可资利用,可以考虑“特值探究”“中间传递”“结构变形”等方法尝试解决该问题.取特殊值0,,2x,易得cos(sin)sin(cos)xx尝试证明:cos(sin)sin(cos)xx法一:利用复合函数的规律法二:利用导数来判断10思考3:求函数2sin(2)3yx的单调增区间.解：∵2sin(2)3yx由3222()232kxkkZ≤≤即7222()66kxkkZ≤≤得7()1212kxkkZ≤≤-∴原函数的单调增区间为7,()1212kkkZ.11练习2⑴(类似教程189P训练3)函数3sin1cosxyx的最小值是()(A)1(B)4(C)43(D)43⑵函数(sin1)(cos1)yxx()6x≤≤2的最小值是______.⑶(教程189P训练6)函数()sin(2)fxx的图象的一条对称轴为直线8x,且(0,),则=_____.C2344