考研数学线性代数强化习题-相似与相似对角化

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-相似与相似对角化知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块九相似与相似对角化Ⅰ经典习题一．相似矩阵1、下列矩阵中，和相似的是（）（A）（B）（C）（D）2、设均为阶矩阵，可逆且A~B，则下列命题中①AB~BA②A2~B2③AT~BT④A−1~B−1正确的有（）个.（A）（B）（C）（D）二．相似对角化的条件3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（）AB201200000,001000000AB120211231,120015102AB201203000,000000000AB200100020,030003003AB,ABnA1234点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（A）（B）（C）（D）4、已知三阶矩阵的特征值为，则下列结论中不正确的是（）（A）矩阵是不可逆的（B）矩阵的主对角元素之和为（C）所对应的特征向量正交（D）的基础解系由一个向量构成5、设阶方阵，且对，则（）（A）（B）相似（C）合同（D）同时可相似对角化或不可相似对角化6、设为阶方阵，满足，证明：（1）；（2）矩阵可以相似对角化.7、设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，.（1）求的全部特征值；（2）是否可对角化？8、已知三阶矩阵的特征值为，设（）（A）1（B）2（C）3（D）不能确定三．相似对角化中与的计算9、已知是矩阵属于特征值的特征向量，是矩阵属于特征值的特征向量，那么矩阵不能是（）101023135100320211101202303223023001A0,1AA011和0AxABn为、,||||EAEB有||||EAEBAB与AB与AB、An2AArAErAnAA123,,123A231312,AAAAA0,1,2322,()BAArB则P11200060,006PAPA223,A6P点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（A）（B）（C）（D）10、已知，其中，求______________.11、已知矩阵与相似:（1）求与；（2）求一个满足的可逆矩阵12、设矩阵.问当为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵?并求出和相应的对角矩阵.13、设矩阵,已知有三个线性无关的特征向量,是的二重特征值.试求可逆矩阵,使得为对角矩阵.14、设矩阵与相似,其中.（1）求和的值;（2）求可逆矩阵,使.四．的计算15、已知、为三阶矩阵，满足，，齐次方程组有非零解，（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵；123,,12323,,2132,,12123,,(1,2,3)iiAii123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)TTTA20000101Ax20000001Byxy1PAPBP3221423AkkkP1PAPP1114335AxyA2AP1PAPAB20010022,02031100AxByxyP1PAPBnAAB0ABB11001110aB0AX010aP1PAP点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（3）求秩；（4）计算行列式；（5）求五．对实对称矩阵性质的考查16、设阶实对称矩阵，则()（A）个特征向量两两正交（B）个特征向量组成单位正交向量组（C）重特征值（D）重特征值17、设二阶实对称矩阵的一个特征值，属于的特征向量为，若，则______________.18、设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为,求.六．实对称矩阵的正交相似对角化19、设是阶矩阵，且有个相互正交的特征向量，证明是实对称矩阵20、设三阶对称矩阵A的特征值为，是A的属于特征值的特征向量，记（1）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与其对应的特征向量；（2）求矩阵B七．综合21、阶实对称矩阵，且满足条件.（1）求的全部特征值.（2）当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中阶单位矩阵.(AE)RAE100(AE)An为An的An的Ak的00rEAnk有Ak的00rEAk有A111(1,1)T||2AAA1231,111011AAnnA1112,1,11110T132BAAE1110T3A为220,()2AArAAkAkE3E为点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料Ⅱ参考答案一．相似矩阵1、【答案】（C）【解析】：（A）中，，故和不相似.（B）中，，故和不相似.（D）中，的特征值为，的特征值为，故和不相似.由排除法可知：只有（C）中矩阵和可能相似.事实上，在（C）中，和的特征值均为，由于和均可相似对角化，也即和均相似于，故和相似.故选（C）2、【答案】（D）【解析】：由于，可知：存在可逆矩阵，使得.故，可知、、.又由于可逆，可知，故.故正确的命题有个，选（D）二．相似对角化的条件3、【答案】（D）【解析】：（A）中矩阵为实对称矩阵，可以相似对角化.（B）中矩阵有三个互不相同的特征值：，可以相似对角化.（C）中矩阵特征值为，由于该矩阵秩为，可知其二重特征值有两个线性无关的特征向量，故可以相似对角化.（D）矩阵特征值为，令该矩阵为，，，可知其二重特征值只有一个线性无关的特征向量，故不可以相似对角化.1,2rArBAB9,6trAtrBABA2,2,3B1,3,3ABABAB2,0,0ABAB200000000ABABP1PAPB1122111,,TTTTPAPBPAPBPAPB22ABTTAB11ABA1AABABAABBA41,2,10,0,4102,2,1A0232003003AE22rAE2点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料故选（D）.4、【答案】：（C）【分析】：注意本题是找不正确的答案.根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知A，B正确，而的非零解对应的是零特征值的特征向量.【解析】：根据，，知（A），（B）正确；而是单根，因此，即的基础解系只由一个线性无关解向量构成，可知（D）也正确.因此唯一可能不正确的选项是（C）.事实上，由于没有限定为实对称矩阵，故不同特征值的特征向量不一定正交.故选（C）.【评注】：特征值的重数与矩阵的秩的关系：由于矩阵的重特征值最多只能有个线性无关的特征向量，故假设为矩阵的重特征值，则，也即.有两种情况可以确定：一是当矩阵可相似对角化时，必有；二是当为单特征值时，由于，又由于矩阵不满秩，故.本题在确定的基础解系所含向量个数时，用到了上述结论：由于是单特征值，故5、【答案】：（A）【解析】：由知，具有相同特征值，而的特征值为，所以故（A）是正确的.对于（B），（C），（D），可以通过举反例予以排除.例如，则的特征多项式相同，但不相似，否则，矛盾，故可以排除（B）.同时，由于矩阵不可相似对角化，故可排除（D）.最后，由于合同矩阵是在实对称矩阵的范围内讨论，可知（C）不正确.故唯一正确的选项是（A）6、【证明】：（1）由可得，故有.0Ax123||0A1122331230aaa10(0)2rEArA0AxAAkkAknrAEkrAEnkrAErAEnk1rAEnAE1rAEn0Ax0(0)312rEAx||||EAEBAB、12,,,n,EAEB12,,,n12||||nEAEB11100101AB，AB、AB、111PAPBAPBPPEPEA2AAAEAOrAErAn点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料又由于.可知.（2）由于，可知矩阵的特征值必满足，也即的特征值只能为或.由于矩阵可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量，故考虑和的特征向量.由于和的特征向量分别为和的解，它们的基础解系中分别含有和个解向量.也即特征值有个线性无关的特征向量；特征值有个线性无关的特征向量.而，可知有个线性无关的特征向量.故矩阵可以相似对角化.7、【解析】：⑴由已知得，，，，又因为线性无关，所以，，.所以-1,2是的特征值.是相应的特征向量.又由线性无关，得也线性无关，所以-1是矩阵的二重特征值，即的全部特征值为-1,-1，2.⑵由线性无关可证明线性无关，即矩阵有三个线性无关的特征向量，所以矩阵可相似对角化.【评注】：对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题8、【答案】：（A）【解析】：因为矩阵有三个不同的特征值，所以必能相似对角化，则有.那么，()rAErArEArArEAArEnrAErAn2AAA2A10n10100AEx0AxnrAEnrA1nrAE0nrAnrAEnrAnAnA123123()2()A2121()()A3131()()A123,,1230210310A2131123,,123,,2131,AA123,,2131123,,AAAA1012PAP11321312(2)2PBPPAAPPAPPAP1312()2()PAPPAP0001211840点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料即.因此.故应选（A）三．相似对角化中与的计算9、【答案】：（D）【解析】：若则有即即可见是矩阵属于特征值的特征向量，又因矩阵可逆，因此，线性无关.若是属于特征值的特征向量，则仍是属于特征值的特征向量，故（A）正确.若是属于特征值的特征向量，则仍是属于特征值的特征向量.本题中，是属于的线性无关的特征向量，故仍是的特征向量，并且线性无关，故（B）正确.关于（C），因为均是的特征向量，所以谁在前谁在后均正确.即（C）正确.由于是不同特征值的特征向量，因此不再是矩阵的特征向量，故（D）错误.【评注】：相似对角化中，只要有的对角元是矩阵的个特征值，的列向量是与中特征值对应的个线性无关的特征向量，所得的与就能满足等式010B0()