2018年上海市长宁嘉定区高三二模数学卷(含答案)

12017学年长宁、嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合},2,1{mA，}4,2{B，若}4,3,2,1{BA，则实数m_______．2．nxx1的展开式中的第3项为常数项，则正整数n___________．3．已知复数z满足i342z（i为虚数单位），则||z____________．4．已知平面直角坐标系xOy中动点),(yxP到定点)0,1(的距离等于P到定直线1x的距离，则点P的轨迹方程为______________．5．已知数列}{na是首项为1，公差为2的等差数列，nS是其前n项和，则2limnnnaS_______．6．设变量x、y满足条件,043,04,1yxyxx则目标函数yxz3的最大值为_________．7．将圆心角为32，面积为3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．8．三棱锥ABCP及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三22432左视图PABC主视图2等奖的概率为____________．10．已知函数)1lg()(2axxxf的定义域为R，则实数a的取值范围是_________．11．在△ABC中，M是BC的中点，120A，21ACAB，则线段AM长的最小值为____________．12．若实数x、y满足112244yxyx，则yxS22的取值范围是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“2x”是“1x”的………………………………………………………………（）．（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件14．参数方程2,4322tytx（t为参数，且30t）所表示的曲线是………………（）．（A）直线（B）圆弧（C）线段（D）双曲线的一支15．点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿MCBA运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数)(xfy的图像的形状大致是下图中的……………………………………………………………（）（A）（B）（C）（D）16．在计算机语言中，有一种函数)(xINTy叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y等于不超过x的最大整数，如0)9.0(INT，3)14.3(INT．已知nnINTa1072，11ab，110nnnaab（*Nn且2n），则2018b等于………………………（）．（A）2（B）5（C）7（D）8（反面还有试题）1122.5yOxyOx1122.5yOx1122.5yOx1122.53三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数62sinsin2)(2xxxf．（1）求函数)(xf的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若31cosB，2Af，求Csin的值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为直角梯形，90BAD，AD∥BC，2AB，1AD，4BCPA，PA平面ABCD．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角DPCA的余弦值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益．现准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的%20．（1）若建立函数)(xfy模型制定奖励方案，试用数学语言．．．．表述该团队对奖励函数)(xf模型的基本要求，并分析函数2150xy是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数2310)(xaxxf作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．DPABC420．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆：12222byax（0ba）的焦距为32，点)2,0(P关于直线xy的对称点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点P的直线l与椭圆交于两个不同的点C、D（点C在点D的上方），试求△COD面积的最大值；（3）若直线m经过点)0,1(M，且与椭圆交于两个不同的点A、B，是否存在直线0l：0xx（其中20x），使得A、B到直线0l的距离Ad、Bd满足||||MBMAddBA恒成立？若存在，求出0x的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列}{na的各项均为正数，其前n项和为nS，且满足2)1(4nnaS．数列}{nb满足21b，42b，且等式112nnnbbb对任意2n成立．（1）求数列}{na的通项公式；（2）将数列}{na与}{nb的项相间排列构成新数列1a，1b，2a，2b，…，na，nb，…，设该新数列为}{nc，求数列}{nc的通项公式和前n2项的和nT2．（3）对于（2）中的数列}{nc的前n项和nT，若nncT对任意*Nn都成立，求实数的取值范围．2017学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷MOxylPCD·5参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．32．43．54．xy425．416．47．3228．249．16710．]1,1[11．2112．]4,2(二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．13．A14．C15．B16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）12cos212sin232cos212sin232cos1)(xxxxxxf162sinx，……………………………（每对一步得1分）（4分）所以，)(xf的最小正周期T，值域为]2,0[．……………………………（6分）（2）由2)(Af，得162sinA，………………………………………（2分）因为A0，所以611626A，故262A，3A．……（5分）因为在△ABC中，31cosB，所以322sinB，…………………………（6分）所以，BABABABACsincoscossin)sin()(sinsin6223322213123．…………………………………………（8分）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）法一：以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，………………………………………………（1分）则)0,0,2(B，)0,1,0(D，)0,4,2(C，)4,0,0(P，………………………（2分）所以，)0,1,2(BD，)4,4,2(PC，………………………………………（3分）因为044PCBD，所以，PCBD．……………………………………（5分）所以，异面直线BD与PC所成角的大小为90．…………………………………（6分）（1）法二：连结AC，因为90BAD，所以21tanABADABD，………（1分）由AD∥BC，得90ABC，所以21tanBCABACB，………………（2分）所以ACBABD，于是90DBCACB，即ACBD，…………（4分）又PA平面ABCD，所以BDPA，所以BD平面PAC，故PCBD．所以，异面直线BD与PC所成角的大小为90．………………………………（6分）（2）由（1）BD平面PAC，所以)0,1,2(BD是平面PAC的一个法向量．（1分）6设平面PCD的一个法向量为),,(zyxn，因为)4,4,2(PC，)0,3,2(CD，则由,0,0CDnPCn得,032,0442yxzyx取1z，则6x，4y，故)1,4,6(n．……………………………………（5分）设BD与n的夹角为，则2652651626516||||cosnBDnBD．……………（7分）由图形知二面角DPCA为锐二面角，所以二面角DPCA的余弦值为26526516．……………………………………（8分）19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）设函数模型为)(xfy，根据团队对函数模型的基本要求，函数)(xfy满足：当]1000,10[x时，①)(xf在定义域]1000,10[上是增函数；②9)(xf恒成立；③5)(xxf恒成立．…………………………………………（3分，每项得1分）对于函数2150xy，当]1000,10[x时，)(xf是增函数；9232021501000)1000()(maxfxf，所以9)(xf恒成立；但10x时，5102151)10(f，即5)(xxf不恒成立．因此，该函数模型不符合团队要求．………………………………（6分，每项得1分）（2）对于函数模型2203102310)(xaxaxxf，当0203a即320a时递增．………………………………………………（2分）当]1000,10[x时，要使9)(xf恒成立，即9)1000(f，所以1000183a，3982a；……………………………………………………（4分）要使5)(xxf恒成立，即52310xxax，015482axx恒成立，得出5192a．………………………………………………………………………（6分）综上所述，3982a．…………………………………………………………………（7分）所以满足条件的最小正整数a的值为328．………………………………………（8分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）7（1）点)2,0(P关于直线xy的对称点为)0,2(，……………………………（1分）因为)0,2(在椭圆上，所以2a，又322c，故3c，………………（3分）则1222cab．所以，椭圆的方程为1422yx．……………………（4分）（2）由题意，直线l的斜率存在，设l的方程为2kxy，由,14,222yxkxy得01216)14(22kxxk，………………………………（1分）由△0)14(124)16(22kk，得342k．………………………………（2分）设),(CCyxC，),(DD