平行四边形的性质和判定

1.3平行四边形的性质和判定1ODCBA21FEDCBAOHGFEDCBA1.3平行四边形的性质和判定【学习目标】1、会识别平行四边形；2、掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单的问题；3、会运用平行四边形的性质和判定解决有关问题。重点：平行四边形的概念性质以及判定难点：平行四边形性质和判定定理的灵活运用。【知识梳理】1．平行四边形的性质①平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．②平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．③平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．④平行四边形的对称性:平行四边形是中心对称图形,过对称中心的任一直线把它的面积平分⑤平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍．⑥平行四边形的面积：底乘以高．2.平行四边形的判定①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．*②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．③两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．*④两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【例题精讲】一、平行四边形的性质【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，即ABCD∥，ADBC∥．通过证明三角形全等来说明：(1)、ABCD，ADBC．（对边相等）(2)、AOCO，BODO．（对角线互相平分）【巩固】如图，点EF，是平行四边形ABCD对角线上的两点，且BEDF，那么AF和CE相等吗？请说明理由【例2】如图，在平行四边形ABCD中，EFBCGHABEF∥，∥，与GH相交于点O，图中共有个平行四边形1.3平行四边形的性质和判定2(1)DCBAAFEDCB【巩固】以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（）A．2个B．3个C．4个D．5个【例3】如图，平行四边形ABCD中，ABAC．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)、证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；(2)、试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．【例4】在平行四边形ABCD中，点1A、2A、3A、4A和1C、2C、3C、4C分别为AB和CD的五等分点，点1B、2B和1D、2D分别是BC和DA的三等分点，已知四边形4242ABCD的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A．2B．35C．53D．15【巩固】如图(1)，在平行四边ABCD中，AC、BD为对角线，6BC，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．A．3B．6C．12D．24【例5】如图，,EF是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AECF.求证：（1）ADF≌CBE；（2）EBDF∥.【巩固】如图，已知：在平行四边形ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于E，ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AEDG．FGEDCBA【例6】已知：如图，平行四边形ABCD内有一点E满足EDAD于点D，EBCEDC，45ECB，请找出与BE相等的一条线段，并给予证明．EDCBA1.3平行四边形的性质和判定3【巩固】如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BEDF∥，求证：AFCE．FEDCBA【例7】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，过AC，两点分别作AEBDCFBDEF，，，为垂足，求证：四边形AECF是平行四边形FEDCBA【巩固】如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE、AB的延长线交于点F，连接AE、CF．求证：ABEEFCSS．【例8】⑴如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC内一点，PDAC∥，PEABPFBC∥，∥，点DEF，，分别在ABBCAC，，上，则PDPEPFPFEDCBA(2)、如图1，在平行四边ABCD中，120A，则D．EEABCD图3ABCD图2图1DCBA(3)、如图2，在平行四边形ABCD中，DBDC，65A，CEBD于E，则BCE．EEABCD图3ABCD图2图1DCBA1.3平行四边形的性质和判定4(4)、已知四边形的四条边长分别是abcd，，，，其中ab，为对边，并且满足222222abcdabcd则这个四边形是（）A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形D．对角线垂直的四边形(5)、如图3，在平行四边ABCD中，已知8cmAD，6cmAB，DE平分ADC交BC边于点E，则BE等于cm．EEABCD图3ABCD图2图1DCBA(6)、已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于O点，AOB的周长比BOC的周长多8cm，则AB的长度为cm．ODCBA【巩固】一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长a的取值范围是．ODCBA【例9】在平行四边形ABCD中，过A任作一直线AM，过B、C、D作AM的垂线BE、CF、DG，垂足分别是E、F、G，求证：BEDGCF．GFEDCBA【巩固】AC是平行四边形ABCD较长的一条对角线，点O是ABCD内部一点，OEAB于点E，OFAD于点F，OGAC于点G，求证：AEABAFADAGAC．KQLNMABCDOEFGGFEODCBA二、平行四边形性质和判定的综合应用【例10】点A、B、C、D在同一平面内，从①ABCD∥，②ABCD，③BCAD∥，④BCAD．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）种A．3B．4C．5D．61.3平行四边形的性质和判定5FEDCBA【巩固】如图，已知：AD是ABC的角平分线，DEAB∥，在AB上截取BFAE，连接DEEF，，求证：四边形BDEF是平行四边形【例11】已知：如图，在平行四边形ABCD中，,EF分别是,ABCD的中点.求证：(1)AFD≌CEB；(2)四边形AECF是平行四边形．CEFDBA【巩固】如图，四边形ABCD中，ABCD∥，BD，6BC，3AB，求四边形ABCD的周长．DCBA【例12】如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC．DPCBA【例13】如图所示，在平行四边形ABCD中，、F是对角线AC上两点，且AFCE，求证：四边形BEDF是平行四边形．FEDCBA【巩固】已知：如图，AD∥BC，ED∥BF，且AFCE．求证：四边形ABCD是平行四边形．FEDCBA1.3平行四边形的性质和判定6NMHGFECBAFEDCBA【例14】如图，在平行四边形ABCD的各边ABBCCDDA，，，上，分别取EFGH，，，，使AECG，BFDH，求证：四边形EFGH为平行四边形HGFEDCBA【例15】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PEPF，且APAECPCF．求证：四边形ABCD是平行四边形．PFEDCBA【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AMCN，DEBF，求证：四边形MFNE是平行四边形．ENFMDCBA【例16】如图，点EFGHMN，，，，，分别在ABC的BCACAB，，边上，且NHMGBCMENFAC∥∥，∥∥，GFEHAB∥∥，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F点出发，黑蚂蚁沿路线FNHEMGF爬行，白蚂蚁沿路线FBACF爬行，那么（）A．黑蚂蚁先回到F点B．白蚂蚁先回到F点C．两只蚂蚁同时回到F点D．哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定【巩固】以ABCD的对边AB、CD为边分别在外作等边ABE、等边CDF．求证：四边形AECF是平行四边形．ECDFBA【巩固】等边ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CDBE，所以AD为边作等边ADF．求证：四边形CDFE是平行四边形．1.3平行四边形的性质和判定7DCBAFEDCBAQPDCBAFEDBCAEMDCBA【例17】如图，已知AC是平行四边形ABCD的对角线，ACP和ACQ都是等边三角形.求证：四边形BPDQ是平行四边形．【巩固】如图，ABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF∥AB，DF∥BE．求证：DF与AE互相平分．【例18】如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角ABCD，，，处均种有一颗大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由【巩固】如图，在ABC中，90ACB，点E为AB中点，连结CE，过点E作EDBC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AFCE．求证：四边形ACEF是平行四边形．【例19】如图，在平行四边形ABCD中，DEAB于E，BMMCDC，那么EMC与BEM的大小关系怎样？1.3平行四边形的性质和判定8DCBA【巩固】已知平行四边形ABCD，2BCAB，M为AD的中点，CEAB．求证：3EMDAEM．EMDCBA【例20】已知：如图，平行四边形ABCD中，AEBECFDF、、、分别平分BAD、ABC、BCD、CDA，BEDF、的延长线分别交ADBC、于点MN、．连接EF，若7AD，4AB．求EF的长．NMFEDCBA【例21】如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交平行四边形于E、F、G、H四点，若3AHPES四边形，，四边形5PFCGS求PBDS△．PGHFEDCBA【例22】如图，在ABC中，ABACADBC，于D，点P在BC上，PEBC交BA的延长线于E，交AC于F。求证：2AD=PE+PF；KHFFABCDEPPEDCBA【巩固】如图⑴，四边形EFGH中，若12，则3必然等于4.请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形ABCD中取一点P，使得56，求证：78.(1)4321GEFH(2)8765BDCAP【巩固】如图所示，在平行四边形ABCD中，求证222222ACBDABBCCDDA．1.3平行四边形的性质和判定9MABCDEFFEDCBA4321EABCMNPPNMCBAS4S3S2S1(3)DCBADCEBAADBC【例23】如图，ABC中，90C，点M在BC上，且BMAC，点N在AC上，且ANMCAM，与BN相交于点P，求证：45BPM【例24】如图，ABCD为平行四边形，ADa，BEAC∥，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．⑴、求证：DFFE；⑵、若2ACCF，60ADC，ACDC，求BE的长；⑶、在⑵的条件下，求四边形ABED的面积．【课后作业】1、如图所示，已知四边形ABCD，从⑴ABDC∥；⑵ABDC；⑶ADBC∥；⑷ADBC；⑸AC；⑹BD中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合。2、如图3，一个平行四边形被分成面积为1S、2S、3S、4S四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时．①14SS与23SS的大小关系为．②已知点C与点A、B不重合时，图中共有个平行四边形，3、如图，在平行四边形ABCD中，5AD，3AB，AE平分BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和44、如图，已知BD为平行四边形ABCD的对角线，过C作CEBD∥，连接AE交BD的延长线于F，求证：AFFE．1.3平行四边形的性质和判定10QPEDCBANMFEDCBAEDCBAFEDCBA5、如图，平行四边形ABCD中，AEBD于E，CFBD于F.求证：AECF.DEFCAB6、如图，在平行四边形ABCD中，点EF，在ADBC，上，且AECF，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N