10-1-随机事件的概率汇总

知识网络考点变化：概率是高考必考的知识，与现实中的事例紧密相关，多以实际应用问题的形式出现．在近3年的高考中主要考查：古典概型与互斥事件、对立事件及统计问题的综合应用；与长度或面积、体积有关的几何概型问题．预计2015年本章在高考中的分值约为12～17分左右，题型一般为一道客观题、一道主观题，客观题突出“小、巧、新”的特点．几何概型问题一般以小题的形式出现，难度中等偏下．古典概型问题一般综合统计的知识，以解答题的形式出现．考情分析地区差异：各地区对本章内容的要求有明显差异，其中浙江、安徽不考几何概型．复习策略：1.本章内容概念性强，抽象性强，思维方法独特．因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的复习．2.古典概型问题常与互斥事件、对立事件综合应用，关键是学会如何利用图表列举基本事件．3.几何概型问题解决的关键是将事件转化为相应的几何区域，然后计算出相关的长度、面积或体积的几何度量．4.互斥事件、对立事件概率加法公式的关键是结合事件包含的基本事件分清它们之间的关系．最新考纲§10.1随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式．第一节最新考纲基础梳理自主测评典例研析特色栏目备课优选基础梳理1.事件的分类确定事件必然事件：在条件S下，一定会发生的事件；不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件.随机事件：在条件S下，可能发生也可能不发生的事件.2.频率和概率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例nAn为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，我们把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．3.事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A发生或B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当A发生且B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必然事件的概率P(E)＝1．(3)不可能事件的概率P(F)＝0．(4)互斥事件概率的加法公式①若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．拓展提升1.频率与概率的区别与联系(1)频率与概率的区别：①频率是随机的，在试验之前不能确定；②概率是一个确定的数，与每次试验无关．(2)频率与概率的联系：①随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；②频率是概率的近似值，概率是用来度量事件发生可能性大小的量．2.两个事件对立与互斥的区别与联系两个事件对立则一定互斥，但两个事件互斥未必对立．“两事件对立”是“这两事件互斥”的充分而不必要条件．从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A所含的结果组成的集合与事件A的对立事件B所含的结果组成的集合互为补集．自主测评判断下列命题是否正确．(1)随机事件是随机试验的一个结果．()(2)在大量重复试验后，频率必须等于概率值．()(3)经大量重复试验知，随机掷一枚质地均匀的骰子，出现1点的概率为16.(√)(4)两个事件的和事件是指两个事件同时发生．()(5)对立事件不一定互斥，但互斥事件一定对立．()解析：(1)错误.随机事件可能是随机试验的多个结果构成的．(2)错误．由概率的定义可知，在大量重复试验中，概率是频率的稳定值但不一定等于频率值．(3)正确．由概率的意义知该结论正确．(4)错误．两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生，不一定是同时发生．(5)错误．两个事件对立则一定互斥，但两个事件互斥未必对立．C下列事件中不是随机事件的是()A.某人购买体育彩票中奖B.从10只灯管(8只正品，2只次品)中任取2只，2只均为次品C.在标准大气压下，水加热到100℃沸腾D.某人投篮10次，1次也没投中解析：由随机事件的概念可知，A，B，D均为随机事件，而C为必然事件．(教材改编)从装有5个红球和3个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是蓝球C.至少有一个红球与至少有一个蓝球D.恰有一个红球与恰有二个红球D解析：对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是()A.P(A)≈mnB.P(A)＝mnC.P(A)＞mnD.P(A)＜mnA解析：事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值．A解析：一次射击不够8环的概率：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.某奥运会射箭选手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.20，0.30，0.10，则此选手在一次射击中不够8环的概率为()A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90题型1·互斥与对立事件的判断题型分类·典例研析例1某城市的电信运营商有甲、乙两种电子报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.．思路点拨：分析各个事件中的子事件，然后看各个事件是否有交集，确定是否互斥，若互斥再分析它们的并集，确定是否对立．规范解答：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2分)(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B，E必有一个事件发生，故B与E是对立事件．(4分)(3)事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(6分)(4)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲和乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(10分)(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．(12分)点评：本题利用实际问题考查了两事件的关系，处理这类问题的关键是将给出的事件拆分为基本事件，再利用集合的观点判断．规律总结：对于互斥或对立事件的判断，除了通过事件的实际意义进行判断之外，也可通过集合的关系进行理解．几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互无公共部分；在满足互斥事件的基础上，且事件A与B所含结果组成试验的全部结果时，这两个事件构成对立事件．迁移发散1判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、方块、黑桃、梅花各10张，点数从1到10)中任取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．规范解答：(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”这两个事件不可能同时发生，也可能都不发生，故它们是互斥事件，不是对立事件．(4分)(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两件事不可能同时发生，但必有一个事件发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件．(8分)(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可以同时发生，如抽到的一张牌恰好为10，故它们既不是互斥事件，也不是对立事件．(12分)题型2·随机事件的频率与概率某企业生产的足球被2014年世界杯指定为比赛专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率mn(1)计算表中足球优等品的频率；(2)从这批足球产品中任取一个质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)思路点拨：根据表格中的数据算出频率值，用此值来估计概率值．规范解答：(1)依据公式f＝mn可以计算出表中足球为优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.(6分)(2)由(1)知抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，故估计抽取一个足球检测时质量检查为优等品的概率为0.950.(12分)点评：本题主要考查根据频率估算概率值，在统计问题中，一般将频率值看做概率值．规律总结：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可近似地当作随机事件的概率．迁移发散2(2012·陕西高考)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．规范解答：由x－2x≤0得0x≤2，因此A＝{1，2}；由x≤2得0≤x≤4，因此B＝{0，1，2，3，4}，满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数是23＝8，选D.规范解答：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为25100＝14，用频率估计概率，∴甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(4分)(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，(6分)其中甲品牌产品是75个，∴在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为75145＝1529，(8分)用频率估计概率，∴已使用了200小时的产品是甲品牌的概率为1529.(10分)题型3·互斥事件与对立事件的概率思路点拨：(1)将事件“血可以输给艾迪”分解为此人的血为O型或者B型，利用互斥事件的概率加法求解．(2)利用对立事件的概率公式结合第一问的结论求解．某国家通过长期的统计得到其国民中各种血型的人所占的比如下表所示：血型ABABO该血型的人所占比/%2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．艾迪是B型血，若艾迪因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给艾迪的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给艾迪的概率是多少？点评：本题主要考查互斥事件及对立事件概率的计算方法，注意两种事件的区别与联系，合理选用会简化运算．规范解答：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.(3分)∵B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(6分)(2)∵事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对