高中数学4.2直线、圆的位置关系课件新人教A版必修

4.2直线、圆的位置关系主要内容4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用4.2.1直线与圆的位置关系一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？O为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10km为单位长度．港口轮船这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为922yx轮船航线所在直线l的方程为02874yx问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．O港口轮船想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；dr（2）直线与圆相切，只有一个公共点；d=r（3）直线与圆相离，没有公共点．dr分析：方法一代数法：判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二几何法：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．解法一：由直线l与圆的方程，得例1如下图，已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．063yx04222yyx22360240xyxyy①②因为214)3(2=10所以，直线l与圆相交，有两个公共点．解法二：圆可化为04222yyx5)1(22yx其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C（0，1）到直线l的距离55105123|6103|2d代入②消去y，得0232xx由①得36yx③由，解得0232xx所以，直线l与圆相交，有两个公共点．1,221xx所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是把代入方程①，得；1,221xx01y把代入方程①，得．1,221xx32yA（2，0）,B（1，3）判断直线与圆的位置关系常用几何法（方法二），但如果求交点坐标就最好用代数方法（方法一）了练习1：已知直线,圆Ｃ:试判断直线与圆Ｃ有无公共点，有几个公共点．22240xyy－:6lyx所以直线l与圆Ｃ无公共点．解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长5r圆心到直线y＝x+6的距离2201652521(1)d解：方程经过配方，得练习2：判断直线与圆的位置关系2220xyx－3420xy因为d=r，所以直线3x＋4y＋2＝０与圆相切．22(1)1xy|302|15d2220xyx－圆心坐标是（１，０），半径长r=1．圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离练习3：直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程。43350xy由题意圆心到直线的距离43350xy(0,0)O2200357.34d所以圆的半径长，解：设圆C的方程为222xyr7r2249.xy圆方程为直线与圆的位置关系返回结束下一页练习4：直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程.2)2(432xxy或例2：过点P（1，-1）的直线L与圆M:(x-3)2+(y-4)2=4（1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长;（2）若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长;（3）若圆的方程加上条件x≥3，直线与圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值范围.演示培养学生用数形结合的思想优化解题程序，用运动变化的观点分析解决问题的能力。解：将圆的方程写成标准形式，得25)2(22yx如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为54例3已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．)3,3(M021422yyx545)254(522即圆心到所求直线的距离为5因为直线l过点，所以可设所求直线l的方程为)3,3(M)3(3xky即033kykx根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离1|332|2kkd因此51|332|2kk即255|13|kk两边平方，并整理得到02322kk解得221kk，或所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为)3(213xy或)3(23xy即032,092yxyx或1.设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2上一点，如何求过点M的圆的切线方程？Mxoyx0x+y0y=r22.设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一点，如何求过点M的圆的切线方程？Mxoy小结1.直线和圆的位置关系的判断2.会求弦长和圆的切线代数法几何法圆心到直线的距离和半径的关系解直线和圆方程联立的方程组判断直线和圆的位置关系几何方法求圆心坐标及半径r（配方法）圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）代数方法0)()(222CByAxrbyax消去y（或x）20pxqxt0:0:0:相交相切相离:::drdrdr相交相切相离作业P128练习：2，3，4．P132习题4.2A组：1，2，3，5．圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？rRO1O2圆与圆的位置关系外离rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2O1O2R+rO1O2=R+rR-rO1O2R+rO1O2=R-r0≤O1O2R-rO1O2=0外切相交内切内含同心圆（内含）如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。外切内切几何方法两圆心坐标及半径（配方法）圆心距d（两点间距离公式）比较d和r1，r2的大小，下结论代数方法222111222222()()()()xaybrxaybr02rqxpx0:0:0:相交内切或外切相离或内含22211212)(2)(2rrybbxaa消去y（或x）两个圆的方程联立解方程组，根据解的个数判定两圆的位置关系.例1已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系.分析：方法一圆C1圆C2有几个公共点，由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；方法二，可以依据连心线的长与两个半径长的和r1+r2或两半径长的差的绝对值|r1-r2|的大小关系，判断两圆的位置关系.rRO1O2比较上述两种解法的优劣？如果例1中要求公共点的坐标，用哪求法比较合适？显然上述例子中只要判断两圆的位置关系，用几何方法比较简单，但如果要求公共点的坐标，必须用代数方法求解方程组.例2.求经过点M(3,-1),且与圆切于点N(1,2)的圆的方程.222650xyxyyOC1MNCxD分析：求圆的方程主要找到圆心C（a,b)和半径r即可.r=CM显然,圆心C在已知圆圆心C1和切点N的连线上，同时圆心C又在MN的垂直平分线上.所以只要写出直线C1N方程和MN的垂直平分线方程即可联立求得圆心.例3已知一个圆的圆心为M（2，1），且与圆C：x2＋y2－3x＝0相交于A、B两点，若圆心M到直线AB的距离为，求圆M的方程.5x2＋y2－4x－2y－1＝0ABMCD例4.求圆关于直线对称的圆的方程.CED02:22yxyxC01:yxl45)1()21(:22yxC(a,b)1:xyl1lk121kk15.011ab5.01abkCD解：设对称圆圆心为D（a,b)半径同圆C.21,25.0baECD的中点满足012125.0ba232ba解方程组得45)23()2(:22yxD的方程对称圆01:yxl1.若两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则其公共弦所在直线的方程是(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0，那么过交点的圆系方程是什么？m(x2+y2+D1x+E1y+F1)+n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=02.若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相切，则方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示的直线是什么？若两圆相离呢？小结1.圆和圆的位置关系的判断2.会求相交圆的公共交点坐标.代数法几何法圆心到直线的距离和半径的关系解直线和圆方程联立的方程组作业P132习题4.2A组：4,6,9,114.2.3直线与圆的方程的应用1.平面几何、立体几何和解析几何在研究问题时的本质区别是什么？2.坐标在几何学和代数学之间的联系起了什么作用？在平面直角坐标系下，与坐标有关的问题1.两点间距离公式2.直线的方程点到直线的距离，平行直线间距离3.圆的方程点、直线、圆和圆的位置关系4.解决问题的出发点2）几何方法1）代数方法譬如，用解方程组的方法判断直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系譬如，用平面几何相切的意义来判断直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系5.用建立坐标系的方法解决实际问题或平面几何中问题.例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）ABA1A2A3A4OPP2分析:如图所示，建立直角坐标系，求出圆弧所在的圆的方程，那么只要知道点P2的坐标，就可得出支柱A2P2的高度，化几何问题为代数问题.ABA1A2A3A4OPP2xy例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.Xyo分析：许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先选择合适的位置建立适当的直角坐标系，由于四边形的对角线互相垂直，以对角线为坐标轴较好，进而设定四个顶点坐标，随后用坐标法验证本题的结论.AO’DCB例3如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.OABPCXy分析：建立适当的坐标系，求出点P所在的圆的方程，再写出点P到顶点的距离的平方和，用代数方法求出最值.O1MO2PNoyx例4如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使得|PM|=|PN|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？2分析：建立适当的坐标系，求出点P的轨迹方程，在依据方程判断点P的运动轨迹.思想方法小结用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系.用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.“坐标法“三步曲作业P132练习:1，2，3，4.P133习题4.2B组:1，2，3.