一元二次方程的公共根与整数根.讲义学生版

1内容基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20axbxc(0)a的实根情况，可以用判别式24bac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20axbxc(0)a有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴24bac为完全平方数；⑵242bbacak或242bbacak，其中k为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．知识点睛中考要求一元二次方程的公共根与整数根2另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．一、一元二次方程的公共根求k的值，使得一元二次方程210xkx，2(2)0xxk有相同的根，并求两个方程的根．【巩固】三个二次方程20axbxc，20bxcxa，20cxaxb有公共根．⑴求证：0abc；⑵求333abcabc的值．【例1】试求满足方程270xkx与26(1)0xxk有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．【巩固】二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0axaxaa和222(1)(2)(2)0bxbxbb(其中a，b为正整数)有一个公共根，求babaabab的值．例题精讲3二、一元二次方程的整数根已知关于x的方程2(6)0xaxa的两根都是整数，求a的值．【巩固】当m为何整数时，方程222525xmxm有整数解．【例2】求所有正实数a，使得方程240xaxa仅有整数根．【巩固】方程()(8)10xax有两个整数根，求a的值．4【巩固】已知关于x的方程2(1)210axxa的根都是整数，那么符合条件的整数a有________个．【例3】设方程2(2)(3)0mxmxm有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例4】已知k为常数，关于x的一元二次方程22(2)(46)80kkxkx的解都是整数，求k的值．【巩固】设关于x的二次方程2222(68)(264)4kkxkkxk的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．【巩固】k为什么实数时，关于x的方程2(6)(9)(11715)540kkxkx的解都是整数？5【巩固】若关于x的方程26911715540kkxkx的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例5】若k为正整数，且关于k的方程221631720kxkx有两个相异正整数根，求k的值．【巩固】已知方程22(1)2(51)240axax有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________．【巩固】若k为正整数，且关于k的方程22(1)6(31)720kxkx有两个相异正整数根，求k的值．【例6】关于x的方程22(3)(2)0axaxa至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．【巩固】已知方程22238213150axaaxaa(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．6【巩固】已知关于x的方程2222(38)213150axaaxaa(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．【例7】设m为整数，且440m，方程2222341480xmxmm有两个整数根，求m的值及方程的根．【巩固】已知1240m，且关于x的二次方程222(1)0xmxm有两个整数根，求整数m．【例8】求所有有理数r，使得方程2(1)(1)0rxrxr的所有根是整数．【巩固】已知p为质数，使二次方程222510xpxpp的两根都是整数，求出所有可能的p的值．7【例9】设m是不为零的整数，关于x的二次方程2(1)10mxmx有有理根，求m的值．【巩固】已知方程219990xxa有两个质数根，则常数a________．【例10】不解方程，证明方程2199719970xx无整数根【巩固】设pq、是两个奇整数，试证方程2220xpxq不可能有有理根．【巩固】试证不论n是什么整数，方程21670sxnx没有整数解，方程中的s是任何正的奇数．8【例11】设,,abc为ABC的三边，且二次三项式222xaxb与222xcxb有一次公因式，证明：ABC一定是直角三角形．【巩固】若一直角三角形两直角边的长，a、b()ab均为整数，且满足24abmabm．试求这个直角三角形的三边长．【例12】b为何值时，方程220xbx和22(1)0xxbb有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【巩固】求所有的正整数a，b，c使得关于x的方程222320,320,320xaxbxbxcxcxa的所有的根都是正整数．9【例13】已知a是正整数，如果关于x的方程32(17)(38)560xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【巩固】求方程33222240ababab的所有整数解．【例14】已知,ab是实数，关于,xy的方程组32yxaxbxyaxb有整数解(,)xy，求,ab满足的关系式．【巩固】已知a为整数，关于,xy的方程组23(2)(1)22xyaxxyaxa的所有解均为整数解，求a的值．10【巩固】设a为质数，bc，为正整数，且满足2922509410225112abcabcbc求abc的值．【例15】已知b，c为整数，方程250xbxc的两根都大于1且小于0，求b和c的值．【巩固】已知方程20xbxc及20xcxb分别各有两个整数根12,xx及12,xx，且120xx，120xx．⑴求证：10x，20x，10x，20x；⑵求证：11bcb≤≤；⑶求,bc所有可能的值．课后作业11【例16】当m是什么整数时，关于x的方程2(1)10xmxm的两根都是整数？【例17】n为正整数，方程2(31)360xxn有一个整数根，则n__________．【例18】当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数．【例19】当m为何整数时，方程222525xmxm有整数解．【例20】已知方程210xmxm有两个不相等的正整数根，求m的值．12【例21】已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程22(21)4(3)0axaxa至少有一个整数根，求a的值．【例22】当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数．【例23】已知a，b都是正整数，试问关于x的方程21()02xabxab是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．【例24】求所有的整数对(,)xy，使32232244447xxyxyyxxyy．【例25】求方程2237xyxxyy的所有正整数解．