中考复习二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质(二)第15讲┃二次函数的图象与性质(二)考点聚焦考点1二次函数与一元二次方程的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数判别式Δ＝b2－4ac的符号方程ax2＋bx＋c＝0有实根的个数2个Δ0两个________实根1个Δ＝0两个________实根没有Δ0________实根不相等相等没有第15讲┃二次函数的图象与性质(二)考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征a0开口向上aa0开口向下b＝0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧bab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧第15讲┃二次函数的图象与性质(二)c＝0经过原点c0与y轴正半轴相交cc0与y轴负半轴相交b2－4ac＝0与x轴有惟一交点(顶点)b2－4ac0与x轴有两个不同交点b2－4acb2－4ac0与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c0，即x＝1时，y0若a－b＋c0，即x＝－1时，y0第15讲┃二次函数的图象与性质(二)考点3二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1：图15－1第15讲┃二次函数的图象与性质(二)[注意]确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．第15讲┃二次函数的图象与性质(二)探究一二次函数与一元二次方程命题角度：1．二次函数与一元二次方程之间的关系；2．图象法解一元二次方程；3．二次函数与不等式(组)．B归类探究例1[2013·苏州]已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解析无理数就是无限不循环小数。理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数是无理数．无理数有：－π，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),共有2个。第15讲┃二次函数的图象与性质(二)探究二二次函数的图象的平移命题角度：1.二次函数的图象的平移规律；2.利用平移求二次函数的图象的解析式．例2[2013·雅安]将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6D．y＝x2D第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解析将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位所得直线解析式为y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3；再向下平移3个单位为y＝x2＋3－3，即y＝x2.故选D.第15讲┃二次函数的图象与性质(二)图15－2例3[2013·聊城]如图15－2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为()A．2B．4C．8D．16B第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解析过点C作CA⊥y轴，∵抛物线y＝12x2－2x＝12(x2－4x)＝12(x2－4x＋4)－2＝12(x－2)2－2，∴顶点坐标为C(2，－2)，对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为2×2＝4.第15讲┃二次函数的图象与性质(二)二次函数的平移，先把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k，由x－h＝0得x＝h，当h0向右移，h0向左移，k0向上移，k0向下移．第15讲┃二次函数的图象与性质(二)探究三二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系命题角度：1.二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系；2.图象上的特殊点与a，b，c的关系．C例4[2013·广安]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图15－3所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc0，②2a＋b＝0，③b2－4ac0，④4a＋2b＋c0，其中正确的是()A．①③B．只有②C．②④D．③④图15－3第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解析由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b小于0.又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2－4ac大于0，选项③错误；由x＝2时对应的函数值大于0，将x＝2代入抛物线解析式可得出4a＋2b＋c大于0，得到选项④正确，最后由对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式得到b＝－2a，得选项②正确，所以正确结论的序号为②④.第15讲┃二次函数的图象与性质(二)C图15－4变试题[2013·烟台]如图15－4是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)．下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，52，y2是抛物线上两点，则y1＞y2.其中说法正确的是()A．①②B．②③C．①②④D．②③④第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解析∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0.∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0.∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，∴－b2a＝－1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a－b＝2a－2a＝0，∴②正确；第15讲┃二次函数的图象与性质(二)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)．∴与x轴的另一个交点的坐标是(1，0)，∴把x＝2代入y＝ax2＋bx＋c，得y＝4a＋2b＋c＞0，∴③错误；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，∴点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3，y1)，根据当x＞－1时，y随x的增大而增大，∵52＜3，∴y2＜y1，∴④正确．第15讲┃二次函数的图象与性质(二)二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．第15讲┃二次函数的图象与性质(二)命题角度：二次函数的图象与性质的综合运用．探究四二次函数的图象与性质的综合运用例5[2013·内江]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．图15－5第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解(1)因为x2＋4x－5＝0的两根是x1＝－5，x2＝1，所以A，B两点的坐标为A(－5，0)，B(1，0)，所以抛物线的对称轴为x＝－2.根据二次函数图象与一元二次方程解的关系，可设二次函数的解析式为y＝a(x2＋4x－5)(a＞0)，则C，D的坐标分别为C(0，－5a)，D(－2，－9a)，从而可画出大致图象，如图：所以S△ABC＝12AB·OC＝15a.第15讲┃二次函数的图象与性质(二)设AC与抛物线的对称轴交于点E，则由三角形相似可求得E点的坐标为(－2，－3a)，所以S△ADC＝S△AED＋S△DEC＝12(9a－3a)×3＋12(9a－3a)×2＝15a.所以S△ABC∶S△ACD＝1.(2)当∠ADC＝90°时，△ADC是直角三角形，依勾股定理得AC2＝AD2＋DC2.因为AC2＝52＋(5a)2，AD2＝32＋(9a)2，DC2＝22＋(9a－5a)2，所以52＋(5a)2＝32＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，解得a＝±66(负值不合题意，舍去)．所以二次函数的解析式为y＝66(x2＋4x－5)＝66x2＋263x－566.第15讲┃二次函数的图象与性质(二)(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．第15讲┃二次函数的图象与性质(二)一题展现“数形结合中的函数与方程思想”回归教材二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图15－6所示．图15－6第15讲┃二次函数的图象与性质(二)(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？解方程验证一下．一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解(1)二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象与x轴分别有两个交点，一个交点，没有交点．(2)一元二次方程x2＋2x＝0有两个根0，－2；方程x2－2x＋1＝0有两个相等的根1，验证略；方程x2－2x＋2＝0没有实数根．第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解(3)从图象和(1)(2)中可知，二次函数y＝x2＋2x的图象与x轴有两个交点，交点的坐标分别为(0，0)，(－2，0)，方程x2＋2x＝0有两个根0，－2；二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有一个交点，交点坐标为(1，0)，方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根1；二次函数y＝x2－2x＋2的图象与x轴没有交点，方程x2－2x＋2＝0没有实数根．由此可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．第15讲┃二次函数的图象与性质(二)解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．第15讲┃二次函数的图象与性质(二)A中考预测如图15－7，将二次函数y＝31x2－999x＋892的图形画在坐标平面上，判断方程式31x2－999x＋892＝0的两根，下列叙述正确是()A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根图15－7