二元一次方程组的整数解

第四讲二元一次方程（组）的整数解学习目标：1、理解二元一次方程整数解存在的条件2、掌握二元一次方程整数解的求法一、知识回顾1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解，显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x－2y=7,9x+3y=6都有整数解。反过来也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y=yyyy2515101(1),设kky(51是整数），则y=1－5k(2),把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2∴原方程所有的整数解是kykx51211（k是整数）方法二：公式法：设ax+by=c有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）3、求二元一次方程的正整数解：i.求出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值ii.用观察法直接写出。二、例题辨析例1、我们知道方程2312xy有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。例：由2312xy，得1222433xyx，（x、y为正整数）01220xx则有06x.又243yx为正整数，则23x为正整数.由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而3x，代入2423yx.2312xy的正整数解为32xy问题：（1）请你写出方程25xy的一组正整数解：（2）若62x为自然数，则满足条件的x值有个A、2B、3C、4D、5（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；例2、求方程5x+6y=100的正整数解变式练习：求11x+15y=7的整数解．例3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？。变式练习:一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？例5、a取什么值时，方程组3135yxayx的解是正数？变式练习m取何整数值时，方程组1442yxmyx的解x和y都是整数？例6、（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？三、归纳总结1、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。2、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。四、拓展延伸二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：①当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）②当212121ccbbaa时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）③当2121bbaa（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：例1、选择一组a,c值使方程组cyaxyx275①有无数多解，②无解，③有唯一的解变式练习：不解方程组，判定下列方程组解的情况：①96332yxyx②32432yxyx③153153yxyx变式练习：当a、b满足什么条件时，关于x、y的方程(22b-18)x=3①与方程组都无解？请说明理由.五、课后作业1、已知关于xy、的方程组210320mxyxy有整数解,即xy、都是整数,m是正整数,求m的值.2、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多对几题？3、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得8877;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2351.王老师家的电话号码是.4、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32cba.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为,,.5、a取什么值时方程组229691322aayxaayx的解是正数？6、a取哪些正整数值，方程组ayxayx24352的解x和y都是正整数？7、要使方程组12yxkkyx的解都是整数，k应取哪些整数值？8、（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？