初三数学完美正方巧妙构造

完美正方巧妙构造——例析一类形外正方形问题的解法谢文剑以三角形或梯形中的若干条边为边向外作正方形构成的图形中，证明线段、角或面积之间的关系，此类题目常见于竞赛和中考题中，根据已知条件，通过仔细的观察和分析，充分利用正方形边角的性质，通过旋转、平移等变换，找出全等三角形，巧妙构造基本图形，是解决这类问题的有效手段．一、利用旋转平移变换，构造全等三角形利用正方形的边长相等，角为90°进行旋转，找出全等三角形，从而找出解决的桥梁．例1（2002年山东省竞赛试题）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGBH，过C作CK⊥AB，分别交AB和GH于D、K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为（）（A）S1=S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）不能确定分析：连结FB、GC，AF∥EB，AG∥CK，则有S正方形AFCE=2S△FAB，S矩形AGKD=2S△ACG，而△ACG可由△FAB绕A点顺时针旋转90°而得，它们是全等三角形，S△ACG=S△FAB，所以可得S1=S2，故选（A）。例2（2003年北京市竞赛题）如图2，以△ABC的三边为边，向形外分别作正方形ABDE、CAFG、BCHK，连接EF、GH、KD，求证：以EF、GH、KD为边可构成一个三角形，并且所构成的三角形面积等于△ABC的面积的3倍。分析：可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GH、KD为边的三角形，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，△DBI≌△AEF，△BIK≌△HCG，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，因此可拼成一个三角形，然后再证明S△DIK=3S△ABC，把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，可得A，C，G′在一条直线上，且C为AG′的中点。所以S△BCG′=S△ABC，因此S△BIK=S△ABC，同理S△DBK=S△DBI=S△ABC，因此由DK、EF、GH为三边构成的△DIK的面积S△DIK=3S△ABC。二、利用中点，构造梯形的中位线一般是利用中点这一已知条件，构造直角梯形的中位线。例3（2005年北京市竞赛题）如图3，分别以△ABC的边AC和BC为一边向三角形外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，PH⊥AB，垂足为H，如果AB=103，那么PH=。分析：考虑到P是EF的中点，且PH⊥AB，可分别过E、F向AB边所在的直线作垂线EJ、FK交直线AB于J、K，则有EJ∥PH∥FK，所以PH=21（FJ+FK），再把EJ、FK的长度和与AB长度联系起来，过C作CI⊥AB于I，则有∠1，∠3与∠2互余，所以∠1=∠3，EA=AC，可得Rt△EJA≌Rt△ACI，得出EJ=AI，同理FK=IB，所以PH=21（FJ+FK）=21AB=53。例4（2004年全国初中数学联赛）如图4，梯形ABCD，AD∥BC，以两腰AB、CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M，求证：MA=MD。分析：过M作MP⊥AD，只要能证AP=PD，就能根据等腰三角形三线合一性质证得MA=MD。过E、F分别向AD所在的直线作垂线，交AD与L、I，使MP为梯形EGIF的中位线，再证AL=DI，构造与△FAL、△DIF的全等的三角形△BKA、△DCJ，可知AL=BK，DI=CJ，而BK=CJ，因此LP-LA=PI-DI，即AP=PD，获证AM=MD。三、利用两个正方形的对应边成比例，构造相似三角形利用正方形的对边平行，两个正方形的对应边、对角线成比例来找出相似三角形。例5在Rt△ABC中，以AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，AB与CD，AC与BF交点为M、N，求证：AM=AN。分析：设正方形ABDE、ACFG的边长分别为a、b则AM∥DE可得babCECADEAM，所以AM=baab。AN∥GF可得baaBGABEFAN，所以AN=baab。因此AM=AN。例6如图6，在Rt△ABC中，以斜边BC为边向外作正方形BDEC，又以AB、AC为边向外作正方形，设各正方形的中心分别为P、Q、R。求证：∠QPR+∠DAE=Rt∠。分析：利用正方形的边与对角线之比为定值，构造出相似三角形。连结BP、PC、BQ、RC。因为∠BPC=90°，只要证∠1+∠2=∠DAE，因为∠QBP=45°+∠ABP，∠ABO=45°+∠ABP所以∠QBP=∠ABD。又因为BDBPABBQ可得△BQP~△DBA。得∠3=∠1，同理有∠4=∠2。因此只要证∠3+∠4=∠DAE，过点A作AH⊥DE于A，利用平行线的性质即可得。四、利用旋转的角度构造高线此类图形中的全等三角形往往是通过旋转90°而得的，对应边相等且互相垂直。例7以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE，AC⊥BC，求证：AH、BF、CD交于一点。分析：构造出三角形的三条高，就能证明它们交于一点。延长HA交P，使得PA=BC，∠1、∠3与∠2都互余，所以∠1=∠3，从而有∠DBC=∠PAB，因此△DBC≌△PAB，△PAB可看作由△DBC绕B点逆时针旋转90°后沿线段AB平移而得，可知PB与DC是相等且互相垂直。因此CI为△PBC的高线，同理BJ也为△PBC的高线，所以CD、AH、BJ交于一点。五、利用旋转，构造中线例8如图8，以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE、ACFG。求证：EG2+BC2=2（AB2+AC2）。分析：将△AEG绕A点顺时针旋转90°使E到E′的位置，∠EAG+∠BAC=180°，因此∠E′AC+∠BAC=180°，即B、A、E′在同一条直线上，且CA为△E′BC的中线。则,AH·AB2CHAHABCH)AHAB(CHEHCEEG222222222,AH·AB2CHAHABCH)AHAB(CHBHBC22222222两式相加得).ACAB(2AHCH2AB2BCAB2222222）（例9如图9，△ABC的边AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值是多少。分析：把△CFH绕C点旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H′的位置，可知，A，C，H′在一直线上，且BC为△ABH′的中线。所以S△CHF=S△BCH′=S△ABC，同理S△DBG=S△AEM=S△ABC，所以阴影部分的面积为S△ABC的3倍，当AB、AC互相垂直时，阴影部分的最大面积为9。