结构动力学第三章多自由度

结构动力学第三章多自由度系统振动主讲教师：于开平2011年春季学期哈尔滨工业大学航天学院3.1多自由度系统的数学模型3.1.1多自由度系统的基本概念用多于一个的有限独立坐标描述的振动系统，称为多自由度系统。实际工程结构经过适当的离散或简化，可以简化成由有限个无弹性的质量（惯性元件），质点到刚体，有限个无质量的弹簧（弹性元件）和阻尼器（阻尼元件）组成。由无惯性的弹性元件和阻尼元件连接的质点系或质点刚体系，也称集中参数系统，反之称分布参数系统。对于m个质点的质点系，共约束是r个，那么广义坐标系n＝3m－r个，也就是有n个自由度数。刚体在空间运动有六个DOF有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成3.1.2多自由度系统振动微分方程（动力学方程，运动控制方程）的建立。可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均可，常用的牛顿第二定律、达朗贝尔原理，Lagrange第二类方程。例1：123000000mMmm122223333400ccccccccccc122223333400kkkckkkkkkk例2跨度为4l，每跨之间均为l，抗弯刚度为EI的梁，可用材料力学的知识得到各响应系数，即在jm上作用单位力后在im上产生的位移，用ij表示。3221612lEI31133912lEI31331712lEI3233212211112lEI作用单位力后在im上产生的位移，用ij表示。......1111122123313123yFmyFmyFmy......2112122223323123yFmyFmyFmy......3113122323333123yFmyFmyFmy....11111....22222....33333()FmyyyyFmyFMyyFmyy....1()YFMYMYYF..MYkYF通常当质点较多，约束比较复杂时，适合用能量分析方法，例如Lagrange第2类方程。m个质点，r个约束，n个广义坐标iq(1,2,...,)in。3nmr12,,...,kknrrqqq（质点k的矢径）稳定约束。所以有11nnkkikkiiiiidrrdqrVqdtqdtq系统动能等于各质点动能之和11111121122nnmkkkijijkijnnTijijijrrmqqqqmqqqMq显然是对称的。则T是关于广义速度的二次型，由于T0，是正定二次型，则M正定对称的。ijjimm在完整约束系统中，势能只是定义坐标的函数12,,...,nUUqqq通常将静平衡位置作为势能零点，并且以静平衡位置为坐标原点。我们研究的是在静平衡位置附近的微振动，则将U在静平衡位置作泰勒展开有0静平衡位置为势能零点。00iUq广义坐标的零点取在静平衡位置上，势能函数是关于广义坐标的二阶以上函数，代入零广义坐标一定为零。由于是微振动，第四项为高阶微量，省略．20011101000......2nnniijiijiijUUUUqqqqqq00U201112nnijijijUUqqqq，令20ijijUkqqijjikk则有111122nnTijijijUkqqqKqU是关于广义坐标q的二次型，0U，等于零对应无有势力作用下的运动，关于广义坐标的正半定二次型。所以，矩阵K是对称半正定的。对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第k个质点受到的阻尼力kkkRr与势能形式上对应存在一个耗散函数112mkkkkrr1111111112121122mnnjkikkkijijnnmkkkijijkijnnTijijijdqrdqrqdtqdtrrqqqqcqqqCqijjicc0是对称的，所以C是正半定的代入拉格拉日方程，LTU，iiidLLQdtqq通常情况下，势能与广义速度无关iiiidTTUQdtqqq对于有耗散力的方程为iiiiidTTUQdtqqqq...MqCqKqQ3.2无阻尼自由振动3.2.1多自由度系统的固有频率0MxKxsinxtt2sinsin0MtKt20KM20KM，关于2的n次代数方程i）由M正定，K正半定，由矩阵理论可知，特征根均为正数或零，即有实数的i，称为固有频率。ii)i有不等实根（多数情况下，多数的实际工程系统）。12...n但可能10，对应系统有刚性运动（在振动同时伴随有刚体运动）iii）有重根，称为亏损系统3.2.2系统的主振型从代数上是一个广义特征值问题，可化为标准特征值问题120MKI，其中1MK一般不对称除非M是对角阵。求出i后回代方程2()0iiKM得到n个i特征向量，12,,...,Tiiini，则()siniiiixtt称为第i阶主振动()()()()12,,...,Tiiiinxtxxx这里的i称为第i阶主振型，也称第i阶模态（modal）。由于没有重根所以，i回代后仅有一个方程不独立222111111212211222111222...0......0iiiinnininniinniinnnninikmkmkmkmkmkmn个方程中仅有一个不独立，在1,...,ini中有一个可任意选取，而其它都与之成一定比例。不失一般性去掉第一个方程，将其它方程中有1i项移到方程右边有222222222221211222222111......iinniniiinniinnnninininikmkmmkkmkmmk1n个方程，1n未知数，最终可求出2,...,ini用1i表示，其余都与其成一定比例。121,,...,Tiiiinn个振型向量放在一起构成一个矩阵，称为模态矩阵。12,,...,n各列向量的元素取值是相对的，可以任意乘或除一个常数，表示第i阶振动时各质点振幅的相对比值。3.2.3各阶主振型之间的关系1）关于M，K是加权正交的0TijM，0TijKij证明：由20iiKM，得2iiiKM，2jjjKM分别前乘Tj，Ti得2TTjiijiKM（1）2TTijjijKM（2）对第（1）式转置有2TTTTijiijKM2TTijiijKM（3）（2）～（3）得220TjiijM（4）由于ij，无重根所以ij，故有0TijM代入（3）式有0TijK当ij时（4）式恒成立，通常0TiiM令其为TiiiMM，称为第i阶模态质量，同理TiiiKK，称为第i阶模态刚度，且有（由（3）式）：2TTiiiiiKM2iiiiiiKKMM由于i各元素取值有一个任意的比例数，iM和iK有一定任意性，但比值是固定的。为方便起见，希望i的任意数的选取方法使得1iM，则2iiK即在原振型向量的基础上（经计算1iM），各个元素同乘1iM，新的归一化后的振型为'iiiM则归一化后的iM的计算为''11TTiiiiiiiMMMMM每一个振型都这样处理以后，构成的模态矩阵称为归一化模态矩阵。即有111211221222121212......,,........TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnnMMMMMMMMMMMMMdiagIM2TiKdiag2）各个主振型之间是线性无关的。证：若主振型之间线性相关，必能找出一组不同时为零的常数ia使得10niiia假设存在这样一组不同时为零的常数ia，使得10niiia（1）前乘TjM有10nTijiiaM100nTijijjjiaMaMa取1,2,...,jn可得120,0,...,0naaa（2）（1）成立意味着12,,...,naaa只能同时为零。所以不存在这样一组系数，振型向量之间线性无关。3．2．4自由振动的解。解法1：i，i求出后，第i阶主振动可以写为siniiiixt'siniiiiat则自由振动解可写为各阶主振动的叠加'11sinnniiiiiiixtxatia是从i中提出的那个任意常数，剩下的'i是一个元素值确定的向量，有2n个未知数，由2n个初始条件确定。2n个方程求解麻烦解法2：模态叠加法。若求出归一化后的各个i后，建立模态矩阵12,,...,n并引入一组坐标，1...Tn，使得x即1111212111122............nnniiinnnnnnxxx各阶主模态的叠加，i是第i阶模态的参与因子。代入方程有0MK前乘T有0TTMK20idiag，20iii初始条件处理：00x0000TTMxM同理有00TMx002000iiiiiii求n个SDOF方程得到it，即1,...,Tnttt，回代得到1niiixttt模态叠加法的几何解释：n个模态向量i是线性无关的，关于M，K正交的，故此可以构成n维空间的一组基，这个空间称模态空间，任意n维自由振动都可以表示成各阶模态的线性组合1niiixi称为主坐标，模态坐标。xt物理坐标。模态矩阵的逆的求法：TipMdiagMM左乘1pM1TpMM右乘111TpMM模态正交性的物理解释111222TTTTpTxMxMM2112niiiM111222TTTTpUxKxKK2112niiik系统的能量等于各阶主振动的能量之和，不同阶之间能量不发生变换，每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数3.4多自由度系统的受迫振动MxCxKxFt1）特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型i，i构成模态矩阵12,,...,n2）模态叠加方法（分解，解耦）期望阻尼阵也和M，K一样具有正交性，即TiCdiagc如果这样就可以使用模态叠加法，进行解耦分析求解。为方程的分析带来很大的便利。可以证明11CMKKMC或11MKCCKM或者11MCKKCM（假定,KC正