#、函数单调性与导数(二课时)

1/73.3.1、函数的单调性与导数【教案目标】1、了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。【教案重点】利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。【教案难点】利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。【教案过程】一、创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二、新课讲授1、提出问题：图3.3-11），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-12）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？2、知识探究：通过观察图像，我们可以发现：1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．3、函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数表示函数在2/7点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．4、知识归纳：函数的单调性与导数的关系果，那在某个区间内，如么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．5、求解函数单调区间的步骤：1）确定函数的定义域；2）求导数；3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．三、典例分析例1、已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；3/7当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．1）；2）3）；4）解：1）因为，所以，因此，在R上单调递增，如图3.3-51）所示．2）因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图3.3-52）所示．3）因为，所以，因此，函数在单调递减，如图3.3-53）所示．4）因为，所以．当，即时，函数；当，即时，函数；函数的图像如图3.3-54）所示．注：3）、4）生练4/7例3、如图3.3-6，水以常速即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：以容器2）为例，因为容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．例4、求证：函数在区间内是减函数．证明：因为当即时，，所以函数在区间内是减函数．小结：证明可导函数在内的单调性步骤：1）求导函数；5/72）判断在内的符号；3）做出结论：为增函数，为减函数．例5、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6、已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+′=1－1·x－2=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1和(1，+∞.令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0和(0，1四、随堂训练1、求下列函数的单调区间：(1f(x=2x3－6x2+7(2f(x=+2x(3f(x=sinx,x(4y=xlnx6/72、函数在上）A、是增函数B、是减函数C、有最大值D、有最小值3、函数y=x+错误!x0）的单调减区间为）A.2，＋∞）B.0，2）C.错误!，＋∞）D.0，错误!）4、若在区间内有，且，则在有）A、B、C、D、不能确定5、函数的增区间是；减区间是；6、函数的增区间是和；减区间是；7、在区间递增。8、已知的图像过点且在处的切线方程为，求1）的解读式；2）求函数的单调区间。五．回顾总结1）函数的单调性与导数的关系2）求解函数单调区间3）证明可导函数在内的单调性六．布置作业1、函数的单调减区间是(A．B.C．，D.2、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为）A．B．C．D．3、函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是）4、福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时，原油温度单位：为，那么，原油温度的瞬时变化率的xyOxyOAxyOBxyOCxyODf(x7/7最小值是）A．8B.C．D.6、已知函数f(x=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。【课后反思】学生对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练。