第五章线性参数的最小二乘法处理yj

5-1第五章线性参数的最小二乘法处理5-2设有一金属尺，在温度t时长度可表示为yt=y0（1+t）,其中，y0为温度零度时的精确长度。为金属材料的线膨胀系数，求y0与的最可信赖值及其精度估计。设a=y0，b=y0,则有yt=a+bt。在理论上，有引题:求标准米尺线膨胀系数nnbtaybtaybtay2211从中任选两个方程可解得a、b,从而确定y0、α。线性参数的最小二乘法处理由于测量误差的存在，需要n25-3但是事实上，不可避免地存在测量误差。设在t1，t2，t3……….tn温度条件下分别测得金属尺的长度是l1，l2，l3……….ln，则有误差方程最小二乘法22212nvvv最小a、b及y0、αnnnnnbtalylvbtalylvbtalylv2222211111线性参数的最小二乘法处理5-4几何解释对应于ti的测量数据li,i=1,2,…,nyott1t2……tn)(tyy1000,,ybyatbanitbalviii,...,2,1),(最小niiv12残余误差：a、b的最可信赖值为什么？怎样求a和b？精度估计？线性参数的最小二乘法处理5-5第一节最小二乘法原理第二节正规方程第三节精度估计第四节组合测量的最小二乘法处理线性参数的最小二乘法处理5-6大纲要求掌握最小二乘原理。掌握正规方程:等精度测量线性参数的最小二乘处理不等精度测量线性参数的最小二乘处理掌握最小二乘精度估计方法。线性参数的最小二乘法处理5-712,,,n若测量数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为nlll,,,21则各测量结果出现于相应真值附近区域内的概率分别为：nddd,,,21nlll,,,212221,1,2,...,2iiiiiPedin第一节最小二乘法原理各误差相互独立，由概率乘法定理，各测量数据同时分别出现在相应区域的概率应为：nnnndddePPPPnn212222121222222212121)()(理论分析5-8最小2222222121nn最小2222222121nnvvv)55(2222211最小nnvpvpvp等精度测量：)65(22221最小nvvv根据概率论的最大或然原理，由于测量值已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有nlll,,,21由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应为引入权pi理论分析第一节最小二乘法原理5-9必须指出:上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。最小二乘原理:测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。第一节最小二乘法原理5-10),,,(),,,(),,,(tnnttXXXfYXXXfYXXXfY2121222111为确定t个不可直接测量的未知量的估计量，可对与该t个未知量有函数关系的直接测量量Y进行n次测量，得测量数据（nt）并设有如下函数关系：tXXX,,,21txxx,,,21nlll,,,21设直接量Y1,Y2,…,Yn的估计量分别为y1,y2,…,yn，则有：),,,(),,,(),,,(tnnttxxxfyxxxfyxxxfy2121222111第一节最小二乘法原理5-11误差方程(残差方程)：最小二乘法),,,(),,,(),,,(tnnnttxxxflvxxxflvxxxflv212122221111最小2222211nnvpvpvpIp等精度测量：最小22221nvvvI不等精度测量：第一节最小二乘法原理5-12矩阵形式实测值矩阵nlllL21估计值矩阵txxxX21残差矩阵nvvvV21误差方程系数矩阵ntnnttaaaaaaaaaA212222111211矩阵形式XALV)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalv误差方程第一节最小二乘法原理5-13误差方程的矩阵形式XALV1）等精度测量线性参数的最小二乘原理的矩阵形式最小VVT或最小)()ˆ(XALXALT2222221200000000000021nnpppP其中：矩阵形式2）不等精度测量线性参数的最小二乘原理的矩阵形式最小PVVT或最小)()ˆ(XALPXALT第一节最小二乘法原理5-14矩阵形式不等精度最小PVVT等精度最小VVT)ˆ(/XALPV21PVVT**VVTVPV21/令XALˆ**APALPL2121/*/*,第一节最小二乘法原理5-15第二节正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程二、不等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程（略）四、最小二乘法与算术平均值的关系正规方程为了获得更可靠的结果，测量次数n总要多余未知参数的个数t，即所得误差方程式的个数总要多余未知数的个数。一般代数解方程法无法求解。最小二乘法可由误差方程得到有确定解的代数方程组，从而求解未知参数。这个具有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程。（或称为法方程）5-16线性参数最小二乘法处理程序根据问题列出误差方程式按最小二乘法原理，利用求极值的方法由误差方程得到正规方程求解正规方程，得到待求估计量给出精度估计5-175-18第二节正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程1111112212221122221122ttttnnnnnttvlaxaxaxvlaxaxaxvlaxaxax最小22221nvvvI00021txIxIxI00022222212txIxIxI............且连续多元函数I(x1,x2,…,xn)的极值条件5-19正规方程iniittniititniiitniiitiniitniitiniiiniiiiniitniitiniiiniiilaxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaa11212111121221221112111121211111tjxIj,...,,,210nijiijxvvxI12021niijiavtjavniiji,...,,,2101特点：系数矩阵是对称阵；主对角线分布着平方项系数，正数第二节正规方程5-20看正规方程组中第r个方程：0][12121111tniitirniiirniiiriniirxaaxaaxaala02211nnrrrvavava则正规方程可写成000221122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavava0VAT即正规方程的矩阵形式5-21将代入，得ˆVLAX0XAALATTˆLAXAATTˆAACTLAXCTˆLACXT1ˆ矩阵形式0VAT第二节正规方程5-22的数学期望Xˆ)(]ˆ[LACEXET1这里Y=[Y1,Y2,…,Yn]T,X=[X1,X2,…,Xn]TLACXT1ˆ)(LEACT1YACT1AXACT1XAAAATT)()(1C=ATAX可见为X的无偏估计。Xˆ第二节正规方程例1已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为获得０℃时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。5-23例题)1(0tyyt0y0y1020304050602000.362000.722000.82001.072001.482000.60Cti0/mmli/解：1）列出误差方程)(00iiitayylv5-24)(dtclviii按照最小二乘的矩阵形式计算601501401301201101ˆ60.200148.200107.200180.200072.200036.2000AdcXL则有：0012.0034.0034.013.11C令为两个待估参量，则误差方程为daycy00,5-2503654.097.1999ˆ1dcLACXT那么：Cydmmcy000/0000183.0/97.19995-26例2在串联谐振回路中，已知Y=ωL－1/ωC,式中ω，Y，L，C分别是外加电信号的角频率和回路的电抗、电感、电容，不同角频率时的电抗测量值li如下表，求L、C的最可信赖值。ωi521li0.80.2-0.3例题第二节正规方程5-27解：令b=-1/C，则有误差vi=li-(Lωi+b/ωi)。L、b是两个待估计参数。正规方程为例题iai1ai2ai1ai1ai2ai2ai1ai2ai1liai2li12350.2250.04140.1620.540.2510.40.111111-0.3-0.3Σ301.2934.1-0.04iiiiiiiiiiiiiiiiiilaaabaaLlaaabaaL3123122311231131213111第二节正规方程5-28例题解得20.2-1/C,182.0bL04.029.131.4330bLbL第二节正规方程5-29tjnilplapaiiiijiij,...,2,1,,...,2,1,作代换：二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程把不等精度测量线性参数最小二乘法处理转化为等精度测量问题。iniittniititniiitniiitiniitniitiniiiniiiiniitniitiniiiniiilaxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaa112121111212212211121111212111115-30＝最小niiivp120)(0)(12112nniiiniiixvpxvp由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：5-31tniititiniiitiniiitiiniititniitiiniiiiniiiiiniiitniitiiniiiiniiiiiniiixaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplap12121111122122111212112121111111整理得：000222111