2014届高三数学一轮复习专讲专练-命题及其关系、充分条件与必要条件

第一章集合与常用逻辑用语§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件01教材回扣02考点分类03课堂内外双基限时练[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•理解命题的概念．•了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．•理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.•本部分主要考查四种命题的概念及其相互关系，考查充分条件、必要条件、充要条件的概念及应用．•题型主要以选择题、填空题的形式出现．常与集合、不等式、几何等知识相结合命题.01教材回扣自主学习必考必记,学教相长知识梳理1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以□1_______的陈述句叫做命题．其中□2____________的语句叫真命题，□3____________的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有□7________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性□8__________.3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的□9__________，q是p的□10__________.(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的□11__________.答案：□1判断真假□2判断为真□3判断为假□4若綈p则綈q□5若q则p□6若綈q则綈p□7相同□8无关□9充分条件□10必要条件□11充要条件名师微博●一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．●两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．●三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.基础自测1.设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：逆命题只需将原命题的条件与结论交换即可．答案：D2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．“若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数”B．“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”C．“若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数”D．“若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数”解析：否命题是同时否定命题的条件与结论，故由否命题的定义可知B选项是正确的．答案：B3．有下列说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是1a＜1b的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①a＞b＞0为a2＞b2的充分不必要条件；②a＞b＞0是1a＜1b的充分不必要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充分不必要条件，故选A.答案：A4．(2012·北京)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝0，且b＝0时，复数a＋bi＝0，不是纯虚数，反之，如果复数a＋bi是纯虚数，则一定有a＝0，故选B.答案：B5．(2012·山东)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件解析：由题意可知，f(x)在R上单调递减，故而0＜a＜1，所以2－a＞0，故g(x)在R上单调递增．反之，由于g(x)在R上单调递增，可知2－a＞0⇒a＜2，又∵a＞0，可知，0＜a＜2，当a＝1时，f(x)＝1，函数f(x)并不单调递减，故而“函数f(x)＝ax在R上是减函数”，是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，答案选A.答案：A02考点分类案例剖析研习考点,触类旁通[例1](2013·广州调研)以下关于命题的说法正确的有__________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；考点一四种命题及真假判断②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：由log2a＞0，得a＞1，知①错；由否命题的概念知②正确；③的逆命题为“若x＋y为偶数，则x，y都是偶数”，显然不正确；由原命题与逆否命题等价知④正确，故填②④.答案：②④方法点睛熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；认真仔细读题，必要时举特例．变式训练1(1)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0(2)有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为__________．解析：(1)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图像不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数．显然此命题为假．又∵逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．(2)①的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；②的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，为假命题；由q≤1，Δ＝4－4q＝4(1－q)≥0知③为真命题；④的逆命题为“三个内角相等的三角形不是等边三角形”，为假命题．故填①③.答案：(1)C(2)①③[例2](2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点二充分条件必要条件的判定解析：若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，故充分性成立，排除B，D项；若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，故必要性不成立，排除C项，所以正确答案为A.答案：A方法点睛充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p则q”的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，防止南辕北辙．如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件．变式训练2(1)(2012·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件(2)(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)由已知得f(x)在[－1,0]上为减函数，∴当3≤x≤4时，－1≤x－4≤0，∴当x∈[3,4]时，f(x)是减函数，反之也成立，故选D.(2)当α⊥β时，由线面垂直的性质定理可得a⊥b，但当a⊥b时，如果a∥m，就得不出α⊥β，故：“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．答案：(1)D(2)A[例3](2013·济南质检)已知p：x－1x≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A．m＞2＋2B．m≤2＋2C．m≥2D．m≥6考点三充分条件和必要条件的应用解析：由p得：0＜x≤1，在此条件下q恒成立，故m≥(4x＋2x)max，可得m≥6.答案：D方法点睛解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．变式训练3(1)(2013·陕西五校联考)已知p：2x－1≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.0，12B.0，12C．(－∞，0)∪12，＋∞D．(－∞，0)∪12，＋∞(2)已知命题p：x＋2≥0，x－10≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0.若綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是__________．解析：(1)令A＝{x|2x－1≤1}，得A＝x12≤x≤1，令B＝{x|(x－a)(x－a－1)≤0}，得B＝{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的充分不必要条件，则AB，需a≤12，a＋1＞1或a＜12，a＋1≥1⇒0≤a≤12，故选A.(2)p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m＞0.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p⇒q，且q/⇒p.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴m＞0，1－m≤－2，1＋m≥10.∴m≥9.答案：(1)A(2)[9，＋∞)[例4](2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.考点四探求结论成立的充要条件解析：x＝4±16－4n2＝2±4－n，因为x是整数，即2±4－n为整数，所以4－n为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．答案：3或4方法点睛解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．变式训练4(2013·武汉期中)关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根的充要条件是__________．解析：当a≤0时，显然方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根，符合题意．当a＞0时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根的充要条件是a＝1或－22a＜0，Δ＝4－4a＞0.解得0＜a≤1.综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根的充要条件是a≤1.答案：a≤103课堂内外学海拾贝名师在线,特色奉献易错矫正(二)因颠倒充分必要条件致误[试题](2011·大纲全国)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3错解：由a＞b可得a3＞b3或a＞b－1，故选B或D.错因：解答本题错因在于颠倒了充分性与必要性，题目所问是使a＞b成立的充分而不必要条件，即由选择支推出a＞b，明确这一点问题便可求解．正解：要求a＞b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a＞b，而由a＞b推不出选项．在选项A中，a＞b＋1能使a＞b成立，而a＞b时a＞b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中a＞b－1时a＞b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2＞b2时a＞b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故D也错误．答案：A双基限时点此进入该word板块请做：word部分：练