第五节--离散型随机变量的分布列、均值与方差

第五节离散型随机变量的分布列、均值与方差本节主要包括2个知识点：1.离散型随机变量的分布列；2.离散型随机变量的均值与方差.界首一中王超2018.3.41．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以_________的随机变量．突破点(一)离散型随机变量的分布列一一列出2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质：①pi_____0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1npi＝__.≥13．常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布X01P_______p1－p若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝为成功概率．P(X＝1)(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝_______，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.CkMCn－kN－MCnNX01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．[例1](1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P132－3qq2则q的值为()A．1B.32±336C.32－336D.32＋336(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12＜X＜52的值为()A.23B.34C.45D.56[解析](1)由分布列的性质知2－3q≥0，q2≥0，13＋2－3q＋q2＝1，∴q＝32－336.(2)由11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a＝1，知45a＝1.∴a＝54.故P12＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝12×54＋16×54＝56.[答案](1)C(2)D[易错提醒]利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0B.12C.13D.23解析：设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，则p＝13.答案：C对应演练2．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于()A．(1－α)(1－β)B．1－(α＋β)C．1－α(1－β)D．1－β(1－α)解析：显然P(ξx2)＝β，P(ξx1)＝α.由概率分布列的性质可知P(x1≤ξ≤x2)＝1－P(ξx2)－P(ξx1)＝1－α－β.答案：B求离散型随机变量的分布列[例2]某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．[解](1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14，P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.或PX＝3＝1－PX＝2＝1－14＝34所以X的分布列为X23P1434[方法技巧]求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．1．设随机变量X的概率分布列为X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.解析：由13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.答案：512对应演练2．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为X123P17424384112超几何分布1．随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X满足如下条件，则X服从超几何分布：第一，该试验是不放回地抽取n次；第二，随机变量X表示抽取到的某类个体的个数(如次品件数或类似事件)，反之亦然．2．超几何分布的特征(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．[例3](2016·天津高考节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．[解](1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以随机变量X的分布列为X012P415715415[方法技巧]求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．解析：事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝C19C23C312＝27220.答案：27220.对应演练突破点(二)离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)称E(X)＝____________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_________．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平(2)称D(X)＝i＝1n(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝__________，(2)D(aX＋b)＝_______(a，b为常数)．平均偏离程度aE(X)＋ba2D(X)离散型随机变量均值与方差的计算1．均值与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由均值的定义求出均值E(X)，进一步由公式D(X)＝i＝1nxi－EX2pi＝E(X2)－(E(X))2求出D(X)．2．以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；(2)可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X＝aξ＋b不服从特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及E(ξ)，D(ξ)求均值和方差．[例1]某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列、均值和方差．[解](1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36＝1100.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15，所以X的分布列为X123P153515因此，X的均值E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.方差D(X)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝15＋0＋15＝25.1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：ξ3456Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，则y的值为()A．0.6B．0.4C．0.2D．0.1解析：由题意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，两式联立解得y＝0.2.答案：C对应演练2．已知X的分布列X－101P121316则在下列式子中①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X＝0)＝13，正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，知①正确；由D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，知②不正确；由分布列知③正确．答案：C3．已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)＝()A．1B．0.6C．2.44D．2.4解析：因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案：C4．为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率