第二讲-§5.2-李雅普诺夫(Liapunov)第二方法(5课时)

韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕1第二讲§5.2李雅普诺夫（Liapunov）第二方法(5课时)一、教学目的：了解Liapunov在处理稳定性中的两种方法；了解Liapunov函数的特征与构造；理解Liapunov第二方法并学会运用它来判定自治系统的稳定性。二、教学要求：了解Liapunov函数的特征与构造；理解Liapunov第二方法并学会运用它来判定自治系统解的稳定性。三、教学重点：运用Liapunov第二方法判定自治系统解的稳定性。四、教学难点：如何构造Liapunov函数。五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。七、教学过程：1．相关概念上一节我们介绍了稳定性概念，但是据此来判明系统解的稳定性，其可解范围是极其有限的.Liapunov创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的Liapunov函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数()dVXdt的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法。本节主要介绍Liapunov第二方法。韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕2为了便于理解，我们只考虑自治系统(),dxFxdtnxR(5.11)假设1()((),,())TnFxFxFx在nGxRxK上连续，满足局部李普希兹条件，且F(0)＝0．为介绍Liapunov基本定理，先引入Liapunov函数概念.定义5.3若函数():VxGR满足V(0)＝0,()Vx和(1,2,,)iVinx都连续，且若存在0HK,使在DxxH上()0(0)Vx，则称()Vx是常正(负)的；若在D上除x=0外总有()0(0)Vx，则称()Vx是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的.通常我们称函数()Vx为Liapunov函数.易知：函数2212Vxx在12(,)xx平面上为正定的；函数2212()Vxx在12(,)xx平面上为负定的；函数2212()Vxx在12(,)xx平面上为变号函数；函数21Vx在12(,)xx平面上是常正函数.李雅普诺夫函数有明显的几何意义.韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕3首先看正定函数12(,)VVxx.在三维空间12(,,)xxV中,12(,)VVxx是一个位于坐标面12xox，即Ｖ＝0上方的曲面.它与坐标面12xox只在一个点，即原点Ｏ(0,0,0)接触(图5-1(a)).如果用水平平面V=C(正常数)与12(,)VVxx相交，并将截口垂直投影到12xox平面上，就得到一组一个套一个的闭曲线族12(,)VxxC(图5-1(b)),由于12(,)VVxx连续可微，且V(0,0)=0,故在120xx的充分小的邻域中，12(,)Vxx可以任意小.即在这些邻域中存在C值可任意小的闭曲线V=C.(b)对于负定函数12(,)VVxx可作类似的几何解释，只是曲面12(,)VVxx将在坐标面12xox的下方.对于变号函数12(,)VVxx，自然应对应于这样的曲面，在原点O的任意邻域，它既有在12xox平面上方的点，又有在其下方的点.定理5.1对系统(5.11)，若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕4(1)正定；(2)(5.11)1()niiidVVFxdtx常负.则(5.11)的零解是稳定的.图5-2证明对任意ε0(εH)，记xx则由V(x)正定、连续和Γ是有界闭集知min()0xbVx由V(0)=0和V(x)连续知存在δ0(δε)，使当x，V(x)b,于是有x时00(,,),xttx0tt（5.12）韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕5若上述不等式不成立，由x和00(,,)xttx的连续性知存在10tt，当01,ttt时，00(,,),xttx而100(,,)xttx.那么由b的定义,有100((,,))Vxttxb（5.13）另一方面，由条件(2)知00((,,))0dVxttxdt在01,tt上成立，即01,ttt时000((,,))()VxttxVxb自然有100((,,))Vxttxb.与(5.13)予盾.即(5.12)成立.例1考虑无阻尼线性振动方程20xx(5.14)的平衡位置的稳定性.解把(5.14)化为等价系统2xyyx(5.15)(5.14)的平衡位置即(5.15)的零解.作V函数22211(,)2Vxyxy有韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕6(5.15)(5.15)21dVxxyydt即V(x,y)正定，(5.15)0dVdt.于是由定理5.1知(5.15)的零解是稳定的，即(5.14)的平衡位置是稳定的.引理若V(x)是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续有界函数x(t)有lim(())0tVxt则lim()0txt证明由读者自己完成.定理5.2对系统(5.11)，若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足(1)正定,(2)(5.11)1()niiidVVFxdtx负定，则(5.11)的零解渐近稳定.证明由定理5.1知(5.11)的零解是稳定的.取为定理5.1的证明过程中的，于是当0x时，00((,,))Vxttx单调下降.若00x，则由唯一性知00(,,)0xttx,自然有00lim(,,)0txttx韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕7不妨设00x.由初值问题解的唯一性，对任意t,00(,,)0xttx.从而由V(x)的正定性知00((,,))0Vxttx总成立，那么存在a≥0使00lim((,,))tVxttxa假设0a,联系到00((,,))Vxttx的单调性有000((,,))()aVxttxVx对0tt成立.从而由(0)0V知存在0h使0tt时00(,,)hxttx(5.16)成立.由条件(2)有max0hxdVMdt故从(5.16)知00((,,))dVxttxMdt对上述不等式两端从t0到tt0积分得0000((,,))()()VxttxVxMtt.该不等式意味着韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕800lim((,,))tVxttx矛盾.故0a，即00lim((,,))0tVxttx由于零解是稳定的，所以00(,,)xttx在0[,]t上有界，再由引理知00lim(,,)0txttx.定理证毕.例2证明方程组2222(1)(1)xyxxyyxyxy(5.17)的零解渐近稳定.证明作李雅普诺夫函数221(,)()2Vxyxy有2222(5.17)(5.17)()()(1)dVxxyyxyxydt韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕9在区域22(,)1Dxyxy上(,)Vxy正定，(5.17)dVdt负定，故由定理5.2知其零解渐近稳定.最后，我们给出不稳定性定理而略去证明.定理5.3对系统(5.11)若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足（1）(5.11)1()niiidVVFxdtx正定，（2）V(x)不是常负函数，则系统(5.11)的零解是不稳定的.本讲要点：1．李雅普诺夫意义下方程零解稳定性和渐近稳定性定义。2．李雅普诺夫第二方法的基本原理和直观意义。作业：习题5.2p234-2351,2,3练习5.21,2,5练习5