工程力学第9章-组合变形习题集

19-2矩形截面钢杆如图所示，用应变片测得杆件上下表面的线应变分别为33110,0.410ab，材料的弹性模量210GPaE。要求：（1）试绘制横截面的正应力分布图；（2）确定拉力P及偏心距δ的大小。m=PδδPPδPm=25δPPεabε+-++σσM=+σFN147.0462.9962.9984.05210.03解：（1）外力分析判变形：杆所受外力与轴线平行，杆件发生拉弯组合变形。（2）内力分析判危险面：杆各横截面上具有相同的轴力和弯矩。NFPMP,（3）应力分析确定拉力P及偏心距δ的大小：轴力引起均匀分布的正应力，横截面上还有弯曲正应力。应力分布如图所示，忽略弯曲剪应力。932932=21010110+=0.0050.0250.0050.025/618.38kN1.785=210100.410=0.0050.0250.0050.025/6NaazNbbzFMPPEAWPFMPPEAW-mm147.0462.99210.0384.05（4）忽略弯曲剪应力,将拉力P及偏心距δ代入上式，计算得到：147.0462.99147.0462.99210.03147.0462.9984.05NFMaaMPa,MPaMPa,MPa正应力分布如图所示。.9-5构架如图所示，梁ACD由两根槽钢组成。已知a=3m,b=1m,F=30kN。梁德材料的许用应力[σ]=170MPa。试选择槽钢的型号。2FFAx69.28MkN·m)(d)(c)FNkN)+30-30°30°FAy(b)(a)AaBFDCbFCB解：〈1〉外力分析：梁的计算简图如图(b)所示，外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC段发生拉弯组合变形。对A取矩BC杆所受压力为：3(31)3010()0sin30()08030.5ACBCBmFFaabFFNkN2〉内力分析：轴力图、弯矩图如图。C左截面轴力和弯矩同时达到最大，是危险面。max69.28kN,30kNmNFM（3）应力分析判危险点：由于发生的是发生拉弯组合变形，加之截面有有两个对称轴，危险面的上边缘具有最大拉应力，比下边缘的最大压应力的绝对值大，上边缘上各点正应力最大。（4）强度计算选择槽钢的型号：33maxmax69.28103010170MPa2222NzzMFAWAW1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：333010170MPa88.242zzWWcm。查表可知，的2321.95cm,108.3cmzAW2）对所选槽钢进行校核：333max4669.2810301015.781138.504154.29170MPa221.95102108.310故，所选择16号槽钢能满足强度要求。9-9如图所示，轴上安装两个圆轮，P、Q分别作用在两轮上，并沿竖直方向。轮轴处于平衡状态。若轴的直径d=110mm,许用应力[σ]=60MPa。试按第四强度理论确定许用荷载P。1.5m1.5m2m1.3PB0MZ图1.7PMT图2.25P1.95PP2P-P00.5QC题9-9图zAPPQD(e)(d)(c)P0.5mQ(b)(a)x1my+解：（1）外力分析，判变形。力P、Q向轴线平移，必附加引起扭转的力偶，受力如图所示；平移到轴线的外力使轴在铅锤面平面内上下弯曲。外力沿竖直方向与轴异面垂直，使轴发生弯扭组合变形。1)由于轴平衡，故::()010.502xmFPQQP2)将轴进行简化，计算简图如图所示，研究铅垂面内梁的求其约束反力()01.53.5501.31.53.5501.7()0ABBAABmFQPFFPPQFFPmF(2)内力分析，判危险面：扭矩图、弯矩图如图所示，C的右截面是危险面：,max2.25PPzTMM(3)应力分析：zM使C横截面上下边缘点弯曲正应力最大，同时又有最大的扭转剪应力，故C的右截面上下边缘点是强度理论的危险点。4（4）按第四强度理论求许可荷载222222,max,max64330.750.75(2.25)0.7560102.91kN0.1103232zTzTrzMMMMPPPDW9-11传动轴如图所示，C轮受铅垂力P1作用，直径D1=200mm,P1=2kN；E轮受水平拉力P2作用，D2=100mm。轴材料的许用应力[σ]=80MPa。已知轮轴处于平衡状态。要求（1）画出轴的扭矩图和弯矩图。（2）试按第三强度理论设计轴的直径，单位为mm。x(g)2kNMy图（N·m）0800P2=4kN-2kNMZ图（N·m）(b)(c)(e)(d)(a)4000P1=2kNyMT图（N·m）z6000-200300-300D1P1ACz400D2P2BxxD(f)200N·m200N·m解：（1）外力分析，判变形。与轴异面垂直的外力P1、P2向轴线平移，必附加引起扭转的力偶3110.2210200Nm22DP；力平移后使轴发生方位难确定的平面弯曲，总之轴发生弯扭组合变形。(2)内力分析，判危险面：将轴进行简化，计算简图如图（b）、（d）、（f）所示，扭矩图、弯矩图如图（c）、（e）、（g）所示，B的左截面合成弯矩最大是危险面。maxM200NmT，2222max,,300800(Nm)BzByBMMMM(3)按第三强度理论设计轴的直径d2222222maxmax6333(300500)200801048.16mm3232TTrzMMMMdddW5补充1：简支折线梁受力如图所示，截面为25cm×25cm的正方形截面，试求此梁的最大正应力。φP/22.4mzP2.4mFNyM+++-------25252mD1ABCD2FN（kN）-M图（kN.m）2.5619.6FQ+解：（1）外力分析，判变形。由对称性可知，A、C两处的约束反力为P/2，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折线梁将发生压弯组合变形。(2)内力分析，判危险面：从下端无限靠近B处沿横截面将简支折线梁切开，取由右边部分为研究对象，受力如图所示。梁上各横截面上轴力为常数，B横截面具有最大弯矩，故B横截面为压弯组合变形危险面。,max22244249.6(k282cos=2.561(k)2222.4yNPMPF..Nm)N(3)应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为矩形，而D1D2是压弯组合变形的压缩边缘，故危险面上D1D2边缘是出现最大压应力。,maxmax3324362.561109.610Pa0.0409763.6864MPa3.727MPa1251025106zNzMFAW6补充2：水塔盛满水时连同基础总重量为G，在离地面H处，受一水平风力合力为P作用，圆形基础直径为d,基础埋深为h，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m2，试校核基础的承载力。P=60kNh=3mG=6×10kNH=15md=6m+-----z3解：（1）外力分析，判变形。主动力、约束反力均在在纵向对称面内左右弯，基础及盛满水的水塔的重量使结构发生轴向压缩变形，而风荷载使其发生左拉右压弯曲。结构发生压弯组合变形。(2)内力分析，判危险面：基础底部轴力、弯矩均达到最大值，故该横截面为压弯组合变形的危险面。,max315+36018108(k610(kyNMPFG（）Nm)N)(3)应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为圆形，中性轴是左右对称的水平直径所在线上，最右边点压弯组合变形的压缩边缘将出现最大压应力。（4）强度计算。,maxmax6323-61010810--Pa-212.21-50.93kPa263.14kPa300kPa66432zNzMFAW7补充3：求图示具有切槽杆的最大正应力。+++10(-)(-)(-)(-)D25(+)(+)(+)(+)D1---yzP=1kN4040101010P=1kNxyzMyMZ++++++++5解：（1）外力分析，判变形。P与缺口轴线平行不重合，所以发生双向偏心拉伸。(2)内力分析，判危险面：从缺口处沿横截面将梁切开，取由右边部分为研究对象，将集中力作用点在端部平移到与缺口对应的形心位置，受力如图所示。可先将集中力向前水平平移2.5mm,则附加My；再将力向下平移5mm，则附加Mz。梁上各横截面上轴力、弯矩均为常数。332.5102.5(5105(1(kyzNMPMPFPNm)Nm)N)(3)应力分析，判危险点，如右所示图整个横截面上均有N引起的均布的拉应力，My引起后拉前压的弯曲应力，Mz引起上拉下压的弯曲应力，点于D2点三者可以均引起拉应力，可代数相加。2269910002.55=Pa10551051010101066206060MPa140MPayNzyzMFMAWW补充4：矩形截面悬臂梁受力如图所示。确定固定端截面上中性轴的位置，应力分布图及1、2、3、4四点的应力值。600y4zx5kN25kN25100150123KzyayazayazK4321(+)(+)(+)(+)D2(-)(-)(-)(-)D1yz中性轴中性轴解：（1）外力分析，判变形。5kN作用下构件在xy平面内上下弯曲；25kN作用下8构件发生轴向压缩的同时，还将在xz平面内前后弯曲。结构将发生双向偏心压缩组合变形。(2)内力分析，判危险面：5kN作用下构件将使Mz在固定端面达到最大值弯矩,max50000.63000NmzM;25kN作用下使构件各横截面具有相同的内力，3325000N,25102510625NmNyFM。故该固定端横截面为偏心压缩的危险面。(3)应力分析：zM使固定端横截面上拉下压的弯曲正应力，N使每一点具有均匀分布的压应力，yM使固定端横截面前拉后压的弯曲正应力。故，固定端截面第一象限的K任意点的应力K确定固定端截面上中性轴的位置33366625103000625-+=+0.10.150.150.100.150.112121.66710106.667105010yNzKKKKKzyKKMFMyzyzAIIyz331.667106.66750063.98729.994=1111115.631033.341063.98729.994KKKKKKKKKyzyzyzyz应力分布图及1、2、3、4四点的应力值。31223425103000625++=+Pa1.66782.5MPa8.83MPa0.150.1020.10.150.150.166+-1.66782.5MPa3.83MPa--1.66782.5MPa12.17MPa-+1.667yNzKzyyNzzyyNzzyyNzzyMFMyAWWMFMAWWMFMAWWMFMAWW82.5MPa7.17MPa补充5：图示铁路圆信号板，装在外径为D=60mm的空心柱上。若信号板上所受的最大风载p=2000N/m2。若许用应力[σ]=60MPa。试按第三强度理论选择空心柱的壁厚。9'aaCBA-+yzx+235.5(Nm)(Nm)314+yxMzPP=392.7Nyxz800R=250600D=60MTMT解：（1）外力分析，判变形。风作用的合力2220000.25329.5(N)PpR与立柱的轴线异面垂直，使立柱发生弯扭变形。合力P向立柱平移，必附加一个引起扭转的力偶，受力如图所示；平移到轴线的外