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扫描隧道显微镜电流表达形式的推导与应用在扫描隧道显微镜中,扫描探针和样品之间有一层极薄的绝缘层,约0.1nm,对于电子来说相当于一个势垒。按照量子力学的计算,透射系数与势垒高度和宽度有一定数量关系。假设一个方形势垒的高度为𝑉0,宽度为a,势垒的势场分布为:V(x)=0,x0,xaV(x)=𝑉0,0≤𝑥≤𝑎在三个区间内波函数应遵从的薛定谔方程分别为:−ℏ22𝑚𝑑2𝜑1(𝑥)𝑑𝑥2=𝐸𝜑1(𝑥),𝑥≤0−ℏ22𝑚𝑑2𝜑2(𝑥)𝑑𝑥2+𝑉0𝜑2(𝑥)=𝐸𝜑2(𝑥),0≤𝑥≤𝑎−ℏ22𝑚𝑑2𝜑3(𝑥)𝑑𝑥2=𝐸𝜑3(𝑥),𝑥≥𝑎令:𝑘2=2𝑚𝐸ℏ2𝑘12=2𝑚(𝑉0−𝐸)ℏ2于是上述薛定谔方程化为:𝑑2𝜑1(𝑥)𝑑𝑥2+𝑘2𝜑1(𝑥)=0,𝑥≤0𝑑2𝜑2(𝑥)𝑑𝑥2−𝑘12𝜑2(𝑥)=0,0≤𝑥≤𝑎𝑑2𝜑3(𝑥)𝑑𝑥2+𝑘2𝜑3(𝑥)=0,𝑥≥𝑎方程的定态解应该有如下的形式:𝜑1(𝑥)=𝐴1𝑒𝑖𝑘1𝑥+𝐴1′𝑒−𝑖𝑘1𝑥,𝑥≤0𝜑2(𝑥)=𝐴2𝑒𝑘2𝑥+𝐴2′𝑒−𝑘2𝑥,0≤𝑥≤𝑎𝜑3(𝑥)=𝐴3𝑒𝑖𝑘1𝑥,𝑥≥𝑎解的含时部分为:f(t)=Aexp(−i𝐸ℏ2𝑡)上述方程中𝜑1是平面波的叠加态,包括入射波和反射波。𝜑3是透射波。利用x=0处和x=a处波函数和它的一阶导数连续性的条件,可以得到解的边界条件。在x=0处,𝜑1(0)=𝜑2(0)𝑑𝜑1(𝑥)𝑑𝑥|𝑥=0=𝑑𝜑2(𝑥)𝑑𝑥|𝑥=0可以解得:𝐴1=𝑖𝑘1+𝑘22𝑖𝑘1𝐴2+𝑖𝑘1−𝑘22𝑖𝑘1𝐴2′𝐴1′=𝑖𝑘1−𝑘22𝑖𝑘1𝐴2+𝑖𝑘1+𝑘22𝑖𝑘1𝐴2′在x=a处,𝜑2(𝑎)=𝜑3(𝑎)𝑑𝜑2(𝑥)𝑑𝑥|𝑥=𝑎=𝑑𝜑2(𝑥)𝑑𝑥|𝑥=𝑎可以解得:𝐴2=𝑖𝑘1+𝑘22𝑘2𝑒𝑖𝑘1𝑎−𝑘2𝑎𝐴3𝐴2′=−𝑖𝑘1+𝑘22𝑘2𝑒𝑖𝑘1𝑎+𝑘2𝑎𝐴3代入可得:𝐴1′=[𝑘12+𝑘222𝑖𝑘1𝑘2𝑠ℎ(𝑘2𝑎)]𝑒𝑖𝑘1𝑎𝐴3𝐴1=[𝑐ℎ(𝑘2𝑎)𝑘12−𝑘222𝑖𝑘1𝑘2𝑠ℎ(𝑘2𝑎)]𝑒𝑖𝑘1𝑎𝐴3粒子贯穿势垒的透射系数定义为透射粒子流概率密度和入射粒子流概率密度的比值:T=|𝐴3|2|𝐴1|2=4𝑘12𝑘224𝑘12𝑘22+(𝑘12−𝑘22)2𝑠ℎ2(𝑘2𝑎)把𝑘1,𝑘2代入上式,并且当𝑘2𝑎≪1时,𝑠ℎ(𝑘2𝑎)≈12𝑒𝑘2𝑎于是T≈16𝑘12𝑘22(𝑘12−𝑘22)2𝑒−2𝑘2𝑎=16𝐸(𝑉0−𝐸)𝑉02𝑒−𝑎ℏ√2𝑚(𝑉0−𝐸)由于电子的隧道效应,金属中的电子并不完全局限于表面边界之内,而是在表面以外指数形式衰减。在使用扫描隧道显微镜时,只要将原子线度的极细探针以及被研究物质表面作为两个电极,当样品与针尖的距离非常接近时,它们的表面电子云就可能重叠。在样品与针尖之间加一个微小的电压𝑈𝑏,电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。因此隧道电流I就是电子波函数重叠的量度。隧道电流与距离的关系如下:I∝𝑈𝑏exp(−𝐴Φ12𝑠)其中s是针尖与样品之间的距离,Φ是平均功函数。由于隧道电流的大小对针尖与样品距离非常敏感,所以可以根据电流变化来探测两者距离。若控制隧道电流不变,则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。若控制针尖高度不变,通过隧道电流的变化可以得到表面态密度的分布。
本文标题:扫描隧道显微镜电流表达式推导
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