一扭转变形相对扭转角

一、扭转变形：（相对扭转角）PGITdxddxGITLP扭转角单位：弧度（rad）GIP——抗扭刚度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT——单位长度的扭转角mrad二、扭转杆的变形和刚度计算扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴PGITdxd各段扭矩为不同值的阶梯轴#图示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB两截面的相对扭转角为：#图示等直圆杆受分布扭矩t作用，t的单位为。Nmm13nniiABipiMlnGI　　　T从中取dx段，dx段两相邻截面的扭转角为：npMxdxdGITAB截面相对扭转角为：nllpMxdxdGIT从中取dx段，该段相邻两截面的扭转角为：#图示为变截面圆杆，A、B两端直径分别为d1、d2。dxxGITdP)(AB截面相对扭转角为：dxxGITdLPL)(——单位长度的扭转角mradPGITdxd圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值圆轴受扭时刚度条件可写作)(maxmaxmax）或（PPGITGIT0maxmax180)(PGITm3、刚度条件应用：1)、校核刚度；max≤][maxpGMIn3)、确定外载荷:2)、设计截面尺寸:][maxpnGIMm三、扭转杆的刚度计算例已知：MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3105mm4，l=2m，G=80GPa，[]=0.5()/m。AC=?校核轴的刚度解：1.内力、变形分析mN1801AMTmN1402CMTrad101.502-p1GIlTABrad101.172-p2GIlTBCBCABACrad1033.01017.1101.502--2-22.刚度校核p111ddGITxp222ddGITxp11maxmaxddGITx故][m/)(43.0π180)m1010Pa)(3.010(80mN180412-59max轴的刚度足够例试计算图示圆锥形轴的总扭转角解：32)(π)(4pxdxIMTlxxdddGM04121d21π3232311211)-π(332ddddGMlxldddxd121)(lxxGITd)(p例长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。解：1.作扭矩图L-x)(20)()(xLxLmxT)(40220maxmNTTx40][116Dmax43TWp）（2.设计杆的外径314max][116）（TD][maxpWT例长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。L-xTx40代入数值得：D0.0226m。314max][116）（TD3.由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT)1(108018040324429Dm/89.1刚度足够例长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。L-xTx404.右端面转角为：LPdxGIxT0)(LPdxGIxLm0)(PGImL22弧度）(033.0例实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径D。980,0.3,8010MPamGPa扭矩图解（一）绘制扭矩图如图。（二）由强度条件设计D。解得：66Dmm（三）由刚度条件设计D。解得：102Dmm从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用D=102mm。mKNT5.4max][maxmaxpWT][16Dmax3TWp][180maxmaxPGIT180][32Dmax4GTIp例有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径分别为d1＝40mm，d2＝70mm。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T1＝0.62kN•m，T2＝0.81kN•m，T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力[]=60MPa，G＝8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]＝2°/m，试校核该轴的强度和刚度。解（1）作出扭矩图（2）强度校核由于AC段和BD段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于AC段轴和BD段轴的强度都要进行校核。0.62kN•m1.43kN•mAC段MPaMPadWMn60][4.4910)40(1610621.01610621.09333max31MPaMPadWMn60][2.2110)70(161043.1161043.19333max32BD段（3）刚度校核AC段mmGIMon/2][/77.118010)40(32101081062.0124643maxmmGIMoon/2][/434.018010)70(32101081043.1124643maxBD段计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。0.62kN•m1.43kN•m例试求图示轴两端的反力偶矩解:受力分析,建立平衡方程(a)0,0MMMMBAx未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一次超静定四、扭转超静定问题变形分析,列变形协调方程0CBACAB(b)0bMaMBA联立求解方程(a)与(b)baMaMbaMbMBA，p1GIaTACp)(GIaMAp2GIbTCBpGIbMB建立补充方程代入上式例长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求：固定端的反力偶。解：①杆的受力图02mmmBA②几何方程：0BA③物理方程：LPBAdxGIxT0)(mN20AM④由平衡方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN20BMxLPBAdxGIxT0)(0)(AMmxxT0xmmxMxTA)(xMA202020dxGIxMPA0402PAGIM0BA02mmmBA平衡方程几何方程)(xTxAM§7-6圆轴扭转破坏分析低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；´´x分析方法——取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）,0n,0t2sin2cos设：ef边的面积为dA则´xntefbeb边的面积为dAcosbf边的面积为dAsin0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA0´若材料抗拉压能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；2cos;2sin分析：´45°:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！§7-7矩形截面杆的自由扭转常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件圆杆扭转时——横截面保持为平面；非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究非圆截面杆扭转的分类：1、自由扭转（纯扭转），2、约束扭转。自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截面翘曲程度相同。应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘曲程度不同。应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。1、横截面上角点处，切应力为零2、横截面边缘各点处，切应力//截面周边3、横截面周边长边中点处，切应力最大021021故0n0n故矩形截面杆自由扭转时应力分布特点（弹性力学解）（弹性力学解）2tmaxhbTWTmax13tbhGTlGITl系数,,与h/b有关，见教材之表4-2长边中点最大切应力max矩形截面杆自由扭转时的应力1、横截面上角点处，切应力为零2、横截面边缘各点处，切应力//截面周边3、横截面周边长边中点处，切应力最大T狭窄矩形截面扭转331GhTl2max31hTh－中心线总长时当10h推广应用31,)10(h狭长矩形