8.4空间中的平行与垂直

理解空间直线和平面位置关系的定义．2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理、两个平面平行的判定定理和性质定理．3．能运用公理、定理证明一些空间位置关系的简单命题．4．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．5．掌握面面垂直的判定定理和性质定理．6．理解直线和平面所成角的概念以及二面角的概念.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习应在熟练掌握相关定理的基础上，学会平行与平行、垂直与垂直、平行与垂直之间的转化．在2011年高考中，浙江卷第4题、辽宁卷第8题、福建卷第15题、北京卷第16题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)直线与平面平行的判定与性质；(2)平面与平面平行的判定与性质．(3)直线与平面垂直的判定与性质；(4)平面与平面垂直的判定与性质.空间直线和平面有三种位置关系，分别是：__________、_________________、_______________2．直线与平面平行的判定定理：如果________的一条直线与________的一条直线________，那么这条直线与这个平面平行3．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，_____________的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线________直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交平面外平面内平行经过这条直线平行∥平面α，则直线a与平面α内的任何直线都平行吗？【答案】不都平行．有平行和异面两种．．直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面内的________都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直5．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的______________都垂直，那么这条直线与这个平面垂直6．直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面________，那么这两条直线________．7．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的_____________，叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线___________，我们说它们所成的角是直角，一条直线和平面______________，我们说它们所成的角是0°的角．所有直线两条相交直线垂直平行射影所成的锐角垂直于平面平行或在平面内．平面与平面的位置关系有：________和________两种．9．二面角的定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做____________，这两个半平面叫做___________．10．以二面角的棱上________一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的________，这两条射线所成的角，叫做二面角的________．平行相交两个半平面二面角的棱二面角的面任意两条射线平面角垂直于同一平面的两平面是否平行？【答案】可能平行，也可能相交.直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点(3)直线和平面平行——没有公共点可看作是按公共点的个数分类；如果按直线是否在平面外分类，则可分为：直线在平面内直线在平面外直线和平面相交直线和平面平行．直线和平面平行的判定(1)定义：一条直线和一个平面没有公共点，称这条直线和这个平面平行．用定义法判定具有不可操作性．这是因为直线和平面都具有延伸性，无公共点无法验证．用辽大教辅考名牌大学(2)定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．定理说明：以后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行就可以判定这条已知直线和这个平面平行了．用符号表示为：a∥b，a⊄α，b⊂α⇒a∥α.从推理形式中可以看出：用这个定理判定直线a与平面α平行，必须具备三个条件，这三个条件缺一不可．简单地可说成三推一．同时定理也可简单地表述为：线线平行⇒线面平行．．直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.也可简单地表述为：线面平行⇒线线平行．用辽大教辅考名牌大学(1)直线和平面平行的性质定理可以看做是直线和直线平行的判定定理．也就是说，以后要证明线线平行时，可考虑线面平行．在应用时，一定要注意定理中的线线究竟是指哪两条直线．(2)在理解定理时，不要误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”．这是因为一条直线和一个平面平行，只能说明这条直线和这个平面无公共点，也即这条直线和平面内的任意一条直线都无公共点．而它们显然有平行、异面两种可能．因此只能说“一条直线平行于一个平面，这条直线平行于这个平面内的无数条直线”．(3)推理形式中必须具备三个条件，缺一不可.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.【分析】关键是在平面CBE内找到一条直线，使PQ平行于这条直线．用辽大教辅考名牌大学【解析】证法1：如下图，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN.用辽大教辅考名牌大学∴PMAB＝EPEA，QNCD＝BQBD.∵AP＝DQ，∴EP＝BQ，又∵AB＝CD，EA＝BD，∴PM＝QN.又∵PM∥QN，∴四边形PMNQ是平行四边形．∴PQ∥MN.∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE.∴PQ∥平面CBE.：如下图，延长AQ交BC或其延长线于G，连EG.用辽大教辅考名牌大学∵AD∥CB，∴AQQG＝DQQB.又AP＝DQ，AE＝DB，∴AQQG＝APPE，∴PQ∥GE.又PQ⊄平面CBE，GE⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.用辽大教辅考名牌大学【点评】证明线面平行可先证线线平行，但要注意，一条线在面外，一条线在面内，关键是找到面内的线.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]已知如下图，SG是正三棱锥S—ABC的斜高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点．判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．用辽大教辅考名牌大学【答案】SG∥平面DEF.∵三棱锥S—ABC是正三棱锥，∴△ABC是正三角形，∵SG为斜高，∴G为AB的中点，连CG，连DE交CG于M，∵D、E分别为AC和BC的中点，∴M为CG的中点．又F为SC的中点，∴FM∥SG，又∵FM⊂面DEF，SG⊄面DEF∴SG∥平面DEF.定义：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(1)当l⊥α时，直线l和α一定相交．这是因为如果l∥α或l⊂α时，直线l不可能与平面α内的任意一条直线都垂直．直线和平面垂直时，唯一的交点称为垂足．(2)若α是任一平面，P为空间任意一点，则过点P有且只有一条直线l是平面α的垂线；若l是任一直线，点P是空间任意一点，则过P点有且只有一个平面α是l的垂面．用辽大教辅考名牌大学(3)定义中的“任意一条”区别于“无数条”．“任意一条”就是平面内的所有直线．“无数条”并不能指代平面内的所有直线．(4)若直线l垂直平面α，则直线l与平面α内每一条直线都垂直．．直线和平面垂直的判定(1)定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任意一条直线．定义法判定线面垂直具有不可操作性，但结论很重要．即“线面垂直，则线线垂直”，这是今后判定两条直线垂直时常用的一种方法．(2)判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用辽大教辅考名牌大学(3)判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．判定定理2中两条相交直线是关键，否则易出现下面两种情形的命题．其一：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；其二：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．这两种情况都是错误的，都没有体现两直线相交的特点．在应用该定理时要清楚判定一条直线和一个平面是否垂直时，只取决于是否能在平面内找到两条相交直线都和已知直线垂直，而不管这两条直线是否与已知直线都相交．用辽大教辅考名牌大学用符号表示为：a⊥m，a⊥nm，n⊂αm∩n＝P⇒a⊥α显然也是五个条件缺一不可．定理也可简写为线线垂直⇒线面垂直．．直线和平面垂直的性质(1)定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.即线面垂直⇒线线垂直．两条结论实际上告诉我们在以后证明两线平行(或垂直)时，可考虑运用这两线与同一个平面的位置关系．．斜线在平面内的射影(1)有关概念：过一点向平面引垂线，垂足叫做这个点在这个平面内的射影．这点与垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段(其长叫做点面距)．一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫斜足．从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段．从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影．用辽大教辅考名牌大学①斜线上任一点在平面内的射影一定在该斜线的射影上．②平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条．垂线在平面内的射影是一个点．③当直线和平面平行时，直线在平面内的射影是一条和该直线平行的直线．用辽大教辅考名牌大学(2)定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，斜线段较长射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短．用辽大教辅考名牌大学(3)两个重要结论：①如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角