7.5推理与证明

了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．4．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．6．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习要体会和领悟合情推理与演绎推理的内涵以及它们之间的差异，学会用这些方法分析解决具体问题．对于证明方法，应准确把握这些基本方法思考过程和特点、适用对象，达到对于具体问题能选择合适的方法证明有关命题．另外本讲复习四个基本证明方法．在2011年高考中，山东卷第15题、陕西卷第13题、安徽卷第19题等都对本讲进行了考查．复习时重点解决：用辽大教辅考名牌大学(1)用合情理推理解决具体问题．(2)用演绎推理对问题进行推理论证．(3)用综合法与分析法证明命题；(4)用反证法证明有关命题；(5)用数学归纳法证明与自然数有关的命题.合情推理包括归纳推理和类比推理．(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由________到________，由________到________的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由________到________的推理．部分整体特殊一般特殊特殊．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为演绎推理．它是一种由________到________的推理．3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：________(M是P)：已知的一般原理；________(S是M)：所研究的特殊情况；_______(S是P)：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．一般特殊大前提小前提结论．综合法与分析法综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法是“________”，即由________出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．分析法：一般地，从____________出发，逐步寻求使它成立的________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．由因导果已知条件要证明的结论充分条件．反证法：一般地，假设________不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是________的一种方法．原命题假设错误间接证明．数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：(1)先证明当______________________________________命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，再证明当________时命题也成立，那么就证明了这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法．n＝n0(n0是使命题成立的最小自然数)时n＝k＋1定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．其包括归纳推理和类比推理．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．用辽大教辅考名牌大学合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想．归纳推理(1)归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．用辽大教辅考名牌大学(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(猜想)若归纳的个别情况越多，越具有代表性，则推广的一般性命题就越可靠．用辽大教辅考名牌大学(3)归纳推理的分类：①完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论．②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．(4)由完全归纳推理得到的结论是正确的．由不完全归纳推理得到的结论，其正确性有待于证明．(5)归纳推理的思维过程大致如下实验、观察―→归纳、类比―→猜测一般性结论．类比推理(1)类比推理的特点：①类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的事物的属性，它以旧的认识作基础，类比出新的结果．②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．用辽大教辅考名牌大学(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题．(3)类比推理的思维过程大致如下：观察、比较―→类似或相同―→猜测新的结论用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．用辽大教辅考名牌大学【解析】首先分析题目的条件，并对n＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题．f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.用辽大教辅考名牌大学由此猜想，n为任何正整数时f(n)＝n2＋n＋41都是质数．当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论是不正确的．用辽大教辅考名牌大学【点评】由归纳推理所得到的结论不一定正确，但它所具有的特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用．应用时首先分析清楚题目的条件，合理归纳.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n2n－12·2n＋12，….Sn为其前n项和，计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081.观察上述结果，推测出计算Sn的公式．用辽大教辅考名牌大学【解析】从S1，S2，S3，S4的数值结构可看出它们有其共同特点：都是分数，分母为奇数的平方，分子比分母少1，据此可猜想Sn的计算公式为：Sn＝2n＋12－12n＋12，即Sn＝1－12n＋12.演绎推理的四种推理规则：(1)假言推理：用符号表示这种推理规则就是，如果p⇒q，p真，则q真，假言推理的本质是通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．(2)三段论推理：用符号表示这种推理规则就是，如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.用辽大教辅考名牌大学(3)关系推理：用符号表示，如：“如果a≥b，b≥c，则a≥c”．(4)完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．．三段论推理的集合解释：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P(如图所示)由此可见，应用三段论解决问题的关键是首先应该明确什么是大前提和小前提．用辽大教辅考名牌大学注意：在运用三段论推理时，对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论作为下一个三段论的前提．．演绎推理的特点：(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．．合情推理与演绎推理的联系与区别：归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明：演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．(3)0.332·是有理数．(4)y＝sinx(x∈R)是周期函数．【分析】三段论的结构与格式．用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)每个菱形的对角线相互垂直(大前提)正方形是菱形(小前提)所以，正方形的对角线相互垂直(结论)(2)两个角是对顶角则两角相等(大前提)∠1和∠2不相等(小前提)所以，∠1和∠2不是对顶角(结论)(3)所有的循环小数是有理数(大前提)0．332·是循环小数(小前提)所以，0.332·是有理数(结论)(4)三角函数是周期函数(大前提)y＝sinx(x∈R)是三角函数(小前提)所以，y＝sinx(x∈R)是周期函数．(结论)用辽大教辅考名