7.4基本不等式及其应用

了解基本不等式的证明过程及其几何意义；2．会用基本不等式证明简单的不等式．3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，要注意基本不等式成立的条件：一正、二定、三相等．在2011年高考中，北京卷第7题、重庆卷第7题、江苏卷第8题、天津卷第12题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)用基本不等式证明不等式；(2)用基本不等式求最值.基本不等式：设a，b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当________时，不等式取等号．2．若a≥b＞0，则a≥a2＋b22≥a＋b2≥_______≥2a－1＋b－1≥b，当且仅当a＝b时各式中等号成立．a＝bab．利用基本不等式求最值：(1)若x，y∈R＋且xy＝P(定值)，则当x＝y时，x＋y有最小值________．(2)若x，y∈R＋且x＋y＝S(定值)，则当x＝y时，xy有最大值________．2PS24用辽大教辅考名牌大学感悟探究应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？【答案】应用均值不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”这三个约束条件，三者缺一不可，当不能直接运用均值不等式求最值时，需要对其做出一定的变形，例如：变常数、变系数、拆项等，当等号不成立时，可考虑采用函数的单调性求最值.，b是正数，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)，该不等式也叫均值不等式．称a＋b2为a，b的算术平均数，称ab为a，b的几何平均数．本定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这一定理的几何解释是：圆的半径不小于半弦．．基本不等式的变形(1)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)常用来证明积(ab)与和(a＋b)有关联的不等式．(2)ab≤a2＋b22(a，b∈R)常用来证明平方和与积有关联的不等式．(3)(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)常用来证明和与平方和有关联的不等式．用辽大教辅考名牌大学(4)应用基本不等式可以得到一些常用的不等式，主要有：如果a，b∈R＋，则a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(当且仅当a＝b时取等号)．其中a2＋b22称为a，b的平方平均数，21a＋1b称为a，b的调和平均数．用辽大教辅考名牌大学(5)若x∈R＋，则x＋1x≥2；(6)若x∈R，x≠0，则x＋1x≥2或x＋1x≤－2，即|x＋1x|≥2.(7)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(当且仅当a＝b时取等号)；(8)－a2＋b22≤ab≤a2＋b22；(9)a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当a＝b＝c时取等号).用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0.求证：ad＋bcbd＋bc＋adac≥4.【分析】此不等式右边为常数4，故联想到使用算术平均数与几何平均数定理，又因为左边为分式，故进一步将不等式左边变形，使用ba＋ab≥2(a、b同号)即可．用辽大教辅考名牌大学【证明】ad＋bcbd＋bc＋adac＝ab＋cd＋ba＋dc＝(ab＋ba)＋(cd＋dc)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝c＝d时，取“＝”)．故ad＋bcbd＋bc＋adac≥4.用辽大教辅考名牌大学【点评】此题考查了常见结论“ba＋ab≥2(a、b同号)”的应用．常用结论还有a2＋b2＋c2≥ac＋bc＋ab，a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋a2c2，21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a、b∈R＋).用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]已知a、b、c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．用辽大教辅考名牌大学【答案】证明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，即a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)，∴a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c).最值定理(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.．应用上述结论时，应注意以下三点：“一正、二定、三相等”．(1)函数式中，各项必须都是正数．为了使用算术平均数与几何平均数的定理，一般要把所求最值的函数或代数式化为ax＋bx的形式，常用的方法是变量分离与配凑法．用辽大教辅考名牌大学(2)函数式中，含变量的各项的和或积必须是常数，求和的最值必须积一定，求积的最值必须和一定．有时候为了利用算术平均数与几何平均数的定理求最值，可以采用一些变化技巧，例如符号的变化等，需要注意的是变化之后不等式的方向可能会改变．用辽大教辅考名牌大学(3)只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值．对于“等号”不能取到的情况往往利用函数y＝ax＋bx(a＞0，b＞0)在区间(0，＋∞)上的单调性求最值．根据函数单调性的判断方法易知，y＝ax＋bx(a＞0，b＞0)在[ba，＋∞)上单调递增，在(0,ba]上单调递减．利用这一性质可以求满足“一正二定”但是不满足“三相等”的函数的最值．这一思维过程可以简记为“等号取不到，单调来协调”．．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．4．“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2](1)求函数y＝x＋12x(x＜0)的最大值；(2)求函数y＝1x－3＋x(x＞3)的最小值；(3)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值．【分析】将函数式先合理变形，再使用算术平均数与几何平均数定理求函数最值．用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)∵x＜0，∴y＝x＋12x＝－[(－x)＋1－2x]≤－2－x·1－2x＝－2(当且仅当x＝－22时，取“＝”号)∴ymax＝－2.用辽大教辅考名牌大学(2)∵x＞3，∴y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3≥5(当且仅当x－3＝1x－3，即x＝4时，取“＝”号)．∴ymin＝5.用辽大教辅考名牌大学(3)∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝12·2x·(a－2x)≤12·[2x＋a－2x2]2＝a28(当且仅当x＝a4时，取“＝”).用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]已知函数y＝4x＋9x，(1)若x＞0时，当x＝________时，函数有最________值________；(2)若x∈(0，25]时，当x＝________时，函数有最________值________；(3)若x∈[4，＋∞)时，当x＝________时，函数有最________值________．用辽大教辅考名牌大学【答案】(1)∵x＞0，∴y＝4x＋9x≥12(当且仅当4x＝9x，即x＝23时，取“＝”号)．∴当x＝23时，函数y有最小值为12.用辽大教辅考名牌大学(2)∵y＝4x＋9x在x∈(0，23]上单调递减，在x∈[23，＋∞)上单调递增，∴当x＝25时，ymin＝685，若故x∈(0，25]，当x＝25时，函数有最小值为685，用辽大教辅考名牌大学(3)y＝4x＋9x，在x∈[23，＋∞)上单调递增，∴当x＝4时，ymin＝37.∴若x∈[4，＋∞)，当x＝4时，函数有最小值为37.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例3]某厂花费50万元买了一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费，已知第x天应付的维修费为[14(x－1)＋500]元．机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废．(1)将每天的平均损耗y(元)表示为投产天数x的函数；(2)求机器使用多少天应当报废？用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)机器投产x天，每天的平均损耗是y＝500000＋500＋14＋500＋24＋500＋…＋x－14＋500x＝1x[500000＋500x＋18x(x－1)]＝500000x＋x8＋49978.用辽大教辅考名牌大学(2)y＝500000x＋x8＋49978≥2500000x·x8＋49978＝500＋49978＝99978，当且仅当500000x＝x8，即x＝2000时取等号．所以这台机器使用2000天应当报废．用辽大教辅考名牌大学【点评】用算术平均数与几何平均数的定理解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，这时，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用算术平均数与几何平均数的定理求该函数的最值．有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，需用求条件最值的方法求最值.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习3]某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？用辽大教辅考名牌大学【答案】设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab＝800.蔬菜的种植面积S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)．∴S≤808－42ab＝648m2.当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时，取等号．答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.用辽大教辅考名牌大学考场实录【