数列的综合应用

通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题．2．培养分析、归纳、抽象、概括的能力，培养建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应通过基本题型、基本问题的解决，掌握基本的解题规律和方法．在2011年高考中，陕西卷第10题、安徽卷第12题、江苏卷第13题、福建卷第16题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)数列与其他知识的综合问题；(2)数列的实际应用问题.数列的实际应用实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等等常常通过数列知识加以解决．解答数列应用性问题应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立有关________模型，再结合其他相关知识来解决问题．递推数列用辽大教辅考名牌大学感悟探究银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？【答案】单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．．数学应用题中常见模型有：________模型、________模型、________模型、________模型等.等差等比混合递推．日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决．2．建立数学模型的一般步骤(1)认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄清题目的已知事项，明确题目所求的结论；(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来；(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学表达式．．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推数列模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推关系式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．．解数列应用题需注意：(1)认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列、等比数列还是一个递推关系式，确定出相应的数列模型．(2)如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an，n，d，q，Sn这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推关系式，应明确关系式是关于Sn的还是an的，又或者是二者综合的，然后再确定要求解的量.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]如下图，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？用辽大教辅考名牌大学【分析】本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和．用辽大教辅考名牌大学【解析】设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗处，共走路程为10(x－1)，然后回到第二面处再到第x面处是20(x－2)，……，从第x面处到第(x＋1)面处的路程为20，从第x面处到第(x＋2)面取旗再到第x面处，路程为20×2，……＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x)＝10(x－1)＋20×x－1x－22＋20×13－x14－x2＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝20(x－294)2＋31154∴x∈N*，∴x＝7时，S有最小值S＝780(m)．答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短．用辽大教辅考名牌大学【点评】本题属等差数列应用问题，应用等差数列前n项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？(即年平均费用最少？)用辽大教辅考名牌大学【答案】设汽车使用年限为n年，f(n)为使用该汽车的平均费用．f(n)＝1n[10＋0.9n＋(0.2＋0.4＋…＋0.2n)]＝10n＋n10＋1≥1＋2＝3当且仅当n10＝10n即n＝10(年)时等号成立．因此该汽车使用10年报废最合算.用辽大教辅考名牌大学知识点二数列与函数、不等式的综合应用考点归纳1.数列是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列．例如要研究数列的单调性、周期性，可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现，但要注意数列与函数的不同，数列只能看做是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．．由于在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d(d≠0)中，an是关于n的一次函数，在前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d中，Sn是关于n的二次函数；在等比数列的通项公式an＝a1qn－1(q＞0且q≠1)中，an和n的关系类似于指数函数，所以等差数列与一次函数、二次函数，等比数列与指数函数有着密切的关系．一方面我们要了解这种关系，另一方面也要能够利用数列与函数的这种关系解决问题．由于图象是函数的一种重要表示形式，所以有些数列问题借助其对应函数的图象可以得到直观形象的解答，同时有些函数问题，例如求函数解析式，也可以借助数列中的相关知识进行求解．．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容．考查方式主要有三种，一是判断数列问题中的一些不等关系，二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题．在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]已知f(x)＝(x－1)2，g(x)＝10(x－1)，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，bn＝910(n＋2)(an－1)．(1)求证：数列{an－1}是等比数列；(2)当n取何值时，bn取最大值，并求出bn的最大值；(3)若tmbm＜tm＋1bm＋1对任意m∈N*恒成立，求实数t的取值范围．用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)∵(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，f(an)＝(an－1)2，g(an)＝10(an－1)，∴(an＋1－an)·10(an－1)＋(an－1)2＝0，即(an－1)(10an＋1－9an－1)＝0.若an≠1，则有10an＋1－9an－1＝0，即an＋1－1＝910(an－1)，∴an＋1≠1，又∵a1＝2，∴对任何n∈N*，an－1≠0，∴an＋1－1an－1＝910，∴{an－1}是以a1－1＝1为首项，910为公比的等比数列．用辽大教辅考名牌大学(2)由(1)可知an－1＝(910)n－1(n∈N*)，∴bn＝910(n＋2)(an－1)＝(n＋2)(910)n，bn＋1bn＝n＋3910n＋1n＋2910n＝910(1＋1n＋2)．＝7时，b8b7＝1，b8＝b7；当n＜7时，bn＋1bn＞1，bn＋1＞bn；当n＞7时，bn＋1bn＜1，bn＋1＜bn，∴当n＝7或n＝8时，bn取最大值，最大值为b7＝b8＝98107.用辽大教辅考名牌大学(3)由tmbm＜tm＋1bm＋1，得tm[1m＋2－10t9m＋3]＜0.(*)依题意，(*)式对任意m∈N*恒成立，①当t＝0时，(*)式显然不成立，因此t＝0不合题意．用辽大教辅考名牌大学②当t＜0时，由1m＋2－10t9m＋3＞0，可知tm＜0(m∈N*)．而当m是偶数时，tm＞0，因此t＜0不合题意．用辽大教辅考名牌大学③当t＞0时，由tm＞0(m∈N*)，∴1m＋2－10t9m＋3＜0，∴t＞9m＋310m＋2(m∈N*)．设h(m)＝9m＋310m＋2(m∈N*)，用辽大教辅考名牌大学∵h(m＋1)－h(m)＝9m＋410m＋3－9m＋310m＋2＝－910·1m＋2m＋3＜0，∴h(1)＞h(2)＞…＞h(m－1)＞h(m)＞…，∴h(m)的最大值为h(1)＝65，∴实数t的取值范围是t＞65.用辽大教辅考名牌大学【点评】递推数列问题是高考的热点问题，而本题将函数、数列、不等式融为一体，综合性比较强，覆盖的知识点比较多．第(1)问是由函数切入，关键在于对递推关系式an＋1＝910an＋110作合理的变形；第(2)问实际上是研究数列的单调性；第(3)问中的“恒成立”是高考的热门话题，需要多多体会该题型的解法技巧.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在一次函数y＝x＋1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若函数f(n)＝1n＋a1＋1n＋a2＋1n＋a3＋…＋1n＋an(n∈N*，且n≥2)，求函数f(n)的最小值；(3)设bn＝1an，Sn表示数列{bn}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)∵点P(an，an＋1)在函数y＝x＋1的图象上，即an＋1－an＝1，又a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝1＋(n－1)·1＝n.用辽大教辅考名牌大学(2)∵f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，f(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋1n＋4＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝12n＋1＋12