等比数列通项公式及前n项和

理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应紧扣等比数列的概念，理解等比数列的相关公式和性质，通过基本题型的解决，掌握通性通法．在2011年高考中，辽宁卷第5题、广东卷第11题、北京卷第12题、新课标全国卷第17题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)等比数列的通项公式及性质的应用；(2)等比数列的前n项和公式的应用.数列{an}从第2项起，每一项与它前一项的比等于____________的数列叫等比数列，________叫公比．2．等比数列{an}的通项公式an＝________，前n项和公式Sn＝________.同一个常数这个常数a1qn－1na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝aqn＋b，(a，b∈R)，{an}是等比数列，则a，b满足的条件是什么？【答案】a，b满足的条件是a＋b＝0且a≠0，b≠0.若设{an}的公比为q，则Sn＝a11－qn1－q＝－a11－q·qn＋a11－q，令a＝－a11－q，b＝a11－q，显然有a＋b＝0，a≠0，b≠0.．若a、b、c成等比数列，则b叫_______________且b＝________.a与c的等比中项±ac任何两个实数都有等比中项吗？两个实数的等比中项唯一吗？【答案】并不是任何两个实数都有等比中项，只有当两个实数同号时，它们才有等比中项，但两个实数有等比中项时，一定有两个，它们互为相反数．．对于正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则等比数列中am、an、ap、aq的关系为____________.aman＝apaq等比数列的定义(1)对等比数列定义的理解可以类比等差数列来进行．(2)“从第二项起”，这是为了保证每一项的前一项确实存在．(3)“同一个常数”这是等比数列的基本特征．用辽大教辅考名牌大学(4)要注意q＝an＋1an(n∈N＋)．(5)从等比数列的定义式中可知，等比数列中无零项，即an≠0，因此，等比数列的公比q≠0.(6)和等差数列一样确定等比数列的条件也只要两个：某一项和公比．．等比数列的判定方法(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an，an＋1，an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝a1q－1qn－a1q－1＝kqn－k，(k＝a1q－1是不为零的常数，且q≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列．．等比中项的定义和性质(1)定义：三个数a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，且b2＝ac或b＝±ac.(2)b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件．反之则不然，例如当a或c为0时，b＝0这个式子也成立．但等比数列中是无零项的，所以它们不能组成等比数列．用辽大教辅考名牌大学(3)两个同号的数a与c才具有等比中项，且它们的等比中项有两个：ac或－ac.这是因为a、c同号，保证了ac＞0，若a与c异号，则ac＜0，则b2＝ac＜0，b不存在．特别地，当a＞0，b＞0时，G＝ab叫做a与b的几何平均数．(4)三个数成等比数列的一般设法是aq，a，aq.．等比数列的单调性若数列{an}是等比数列，且公比为q，则：(1)当q＜0时，数列{an}是摆动数列．(2)当0＜q＜1且a1＞0时，数列{an}是递减数列．(3)当0＜q＜1且a1＜0时，数列{an}是递增数列．(4)当q＝1时，数列{an}是常数列．(5)当q＞1且a1＞0时，数列{an}是递增数列．(6)当q＞1且a1＜0时，数列{an}是递减数列.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]设数列{an}中a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，求证{bn}是等比数列．(2)求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】首先将递推关系转化为an的关系式，利用bn与an的关系结合等比数列定义证明．用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2，∴Sn＋2－Sn＋1＝an＋2＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，∴bn＋1＝2bn，{bn}为等比数列．(2)解：∵Sn＋1＝4an＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3，∴Tn＝31－2n1－2＝3·2n－3.用辽大教辅考名牌大学【点评】定义证明等比数列是最基本的方法．本题首先由Sn与an的关系转化为an的递推关系，再构造bn的形式．本题若是先求an，则较麻烦.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n＝1,2,3，…)，证明：(1)数列{Snn}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.用辽大教辅考名牌大学【解析】本题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力．(1)证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn＋1n＋1＝2Snn.故数列{Snn}是等比数列．用辽大教辅考名牌大学(2)证明：由(1)知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，于是Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4an(n≥2)．又a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4＝4a1.因此对于任意正整数n≥1，都有Sn＋1＝4an.等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N＋)①若已知等比数列{an}的第m项为am，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an＝amqn－m(n，m∈N＋)②通项公式的意义不仅可以求通项，而且还可以利用通项公式①求首项和公比；利用通项公式②求指定项am和公比q.．等比数列的前n项和公式及其推导等比数列{an}的首项为a1，公比为q，末项为an.则前n项和为Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1该公式的推导方法叫做“错位相减法”，它是一种很重要的求和方法．用辽大教辅考名牌大学注意：①在等比数列的前n项和的两个公式中共有五个量a1，n，q，Sn，an，如果已知其中的任意三个便可求出另外两个，即所谓的“知三求二”．②在使用等比数列的前n项和公式时，如果公比q不确定，切不可贸然使用，而应当分q＝1与q≠1两种情况讨论.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]等比数列{an}中，a3＝12，前3项和S3＝－9，求公比q.【分析】分析1：列方程(组)，可解得q.分析2：注意到等比数列的倒序依次成等比数列，公比为原数列公比的倒数．用辽大教辅考名牌大学【解析】解法1：由已知可得方程组a1q2＝12，a11－q31－q＝－9.解得q＝－12.解法2：S3＝a3[1－1q3]1－1q＝－9.∴q＝－12.【点评】解法2优化了解题的思维.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.用辽大教辅考名牌大学【答案】若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，∴S3＋S6＝9a1≠2S9＝18a1，∴q≠1.又依题意S3＋S6＝2S9，可得a11－q31－q＋a11－q61－q＝2·a11－q91－q.整理，得q3(2q6－q3－1)＝0.由q≠0得2q6－q3－1＝0，∴(2q3＋1)(q3－1)＝0.∵q≠1，q3－1≠0，∴2q3＋1＝0，∴q＝－342.有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积．特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝a2中．若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则am·an＝ap·ak，其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝a2p.类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标和相等，也应要求等式两边作积的项数应是一样多的．3．在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列．一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂．一个等比数列的偶数项，也组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂．．若{an}，{bn}为等比数列，则{λan}(λ≠0)，{|an|}，{1an}，{a2n}，{manbn}(m≠0)仍为等比数列．5．若等比数列{an}，{bn}的公比分别是q1、q2，则{k1an·k2bn}是公比为q1q2的等比数列．6．若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sm＋n＝Sn＋qnSm②若等比数列项数为偶数，则S偶S奇＝q③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例3]在等比数列中，若a2＝2，a6＝162，试求a10.【解析】解法一：∵a6＝a2q4，其中a2＝2，a6＝162，∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13122.解法二：∵2、6、10三个数成等差数列，∴a2、a6、a10成等比数列．∴a26＝a2·a10.∴a10＝1622×12＝13122.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习3]设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，则a3a6a9…a30等于________．【答案】220【解析】设a3