等差数列通项公式及前n项和

理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．3．在具体的问题情境中能识别数列的等差关系，并能用有关知识解决问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．5．会用等差数列的性质解决问题.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应紧扣等差数列的定义，推导相关公式与性质．通过基本题型的解决，掌握通性、通法．在2011年高考中，天津卷第4题、重庆卷第11题、广东卷第11题、辽宁卷第15题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)等差数列的通项公式及性质的运用；(2)等差数列的前n项和公式的应用如果一个数列从第________项起，每一项与前一项的________等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示，定义的表达式为__________(n∈N*)．2．如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a、b的________，且A＝________.2差公差dan＋1－an＝d等差中项a＋b2＝a＋b2是a，A，b成等差数列的什么条件？【答案】充要条件．A＝a＋b2⇒2A＝a＋b⇒A－a＝b－A⇒a，A，b成等差数列．反之，若a，A，b成等差数列，则A＝a＋b2.故A＝a＋b2是a，A，b成等差数列的充要条件．．等差数列的通项公式为_______________．4．等差数列的前n项和公式为______________或_______________．5．对于正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则等差数列中am、an、ap、aq的关系为_______________．an＝a1＋(n－1)dSn＝a1＋ann2Sn＝na1＋nn－12dam＋an＝ap＋aq．等差数列的通项是关于正整数n的________函数(d≠0)，(n，an)是直线上的一群孤立的点，an＝an＋b(a、b是常数)是{an}成等差数列的________条件．7．等差数列{an}的首项是a1，公差为d，若其前n项和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝________，B＝________，当d≠0时它表示________函数．一次充要d2a1－d2二次．数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的________条件．9．等差数列的增减性d＞0时为________数列，且当a1＜0时前n项和Sn有最________值．d＜0时为________数列，且当a1＞0时前n项和Sn有最________值.充要递增小递减大对于等差数列定义需注意：(1)在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(2)要强调“同一个常数”，这五个字体现了等差数列的基本特征．如果某几项破坏了这一规律，尽管其他项都满足，那么这个数列也不是等差数列．用辽大教辅考名牌大学(3)要强调公差d＝an＋1－an(n∈N＋)，防止把被减数与减数弄颠倒．(4)由定义可知有了某一项和公差，则这个等差数列就被完全确定．．等差数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．．等差中项的定义和性质(1)定义：三个数a、b、c成等差数列，则b为a和c的等差中项．(2)性质：a、b、c成等差数列的充要条件是b＝a＋c2.这一性质不仅描述了成等差数列的三个数之间的一种数量关系，而且指明了等差中项就是另外两个数的算术平均数．根据这一性质还可以作出以下两个推论．推论1：在等差数列{an}中，有an－1＋an＋1＝2an(n≥2)．推论2：在等差数列{an}中，若m，n，p成等差数列，则am＋ap＝2an.用辽大教辅考名牌大学(3)三个数成等差数列一般设为：a－d，a，a＋d；四个数成等差数列一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.]两个数列{an}和{bn}满足bn＝a1＋2a1＋…＋nan1＋2＋…＋n求证：(1)若{bn}为等差数列，数列{an}也是等差数列．(2)(1)的逆命题也成立．【分析】证明等差数列的问题，应从定义入手，作为第(2)问，应先写出其逆命题．用辽大教辅考名牌大学(1)证明：由已知得a1＋2a2＋…＋nan＝12n(n＋1)bn，a1＋2a2＋…＋(n＋1)an＋1＝12(n＋1)(n＋2)·bn＋1，∴an＋1＝12(n＋2)bn＋1－12n·bn.∴an＋1－an＝32(bn＋1－bn)为常数，∴{an}为等差数列．用辽大教辅考名牌大学(2)逆命题：两个数列{an}和{bn}满足bn＝a1＋2a2＋…＋nan1＋2＋…＋n，若{an}为等差数列，则{bn}也为等差数列．证明：由(1)可知an＝12(n＋1)bn－12(n－1)·bn－1，an＋1＝12(n＋2)·bn＋1－12n·bn，∴an＋1－an＝32(bn＋1－bn)为常数，∴bn＋1－bn＝23(an＋1－an)为常数，∴数列{bn}也为等差数列．用辽大教辅考名牌大学【点评】本例是数列与四种命题的综合题，本题的关键有二：一是用定义证明等差数列，二是逆命题与原命题的关系.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]设数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，且an＝2S2n2Sn－1(n≥2)．证明数列{1Sn}是等差数列，并求Sn.用辽大教辅考名牌大学【答案】由已知得Sn－Sn－1＝2S2n2Sn－1.去分母得(2Sn－1)(Sn－Sn－1)＝2S2n，Sn－1－Sn＝2SnSn－1，两边同除以SnSn－1，得1Sn－1Sn－1＝2.∴{1Sn}是以1S1＝1a1＝1为首项、以2为公差的等差数列，故＝1S1＋(n－1)·2＝2n－1(n≥2)．经验证n＝1时也成立，所以Sn＝12n－1(n∈N*).等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)．若已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．．等差数列的前n项和已知等差数列{an}的首项为a1，第n项为an.则前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋an2.若已知首项a1和公差d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d.若已知末项an和公差d，则Sn＝nan－12n(n－1)d.(1)等差数列的求和公式是通过倒序相加法求得的．(2)在等差数列的五个量：a1，an，n，d，Sn中，只要已知其中的三个量就可求出其余的两个量．．数列{an}等差，前n项和为Sn，数列{|an|}的前n项和为Tn.(1)若ak＞0，ak＋1＜0，即先正后负，则Tn＝Snn≤k2Sk－Sn，n≥k＋1.(2)若ak＜0，ak＋1＞0，即先负后正，则Tn＝－Snn≤kSn－2Sk，n≥k＋1.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.【分析】在等差数列中有五个重要的量，即a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个，其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d.用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)解法一：设首项为a1，公差为d，依条件，得33＝a1＋14d，153＝a1＋44d，解方程组，得a1＝－23，d＝4，∴a61＝－23＋(61－1)×4＝217.解法二：由d＝an－amn－m，得d＝a45－a1545－15＝153－3330＝4，由an＝am＋(n－m)d，得a61＝a45＋16d＝153＋16×4＝217.用辽大教辅考名牌大学(2)∵Sn＝na1＋12n(n－1)d，∴8a1＋28d＝48，12a1＋66d＝168，解方程组，得a1＝－8，d＝4.用辽大教辅考名牌大学(3)∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5，解方程组，得a1＝－5，d＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是()A．12B．24C．36D．48【答案】B【解析】根据已知条件10a1＋10×92d＝120，即2a1＋9d＝24，∴a1＋a10＝2a1＋9d＝24.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例3]等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．用辽大教辅考名牌大学【解析】解法1：a1＝25，S17＝S9.则17a1＋17×162d＝9a1＋9×82d，d＝－2.从而Sn＝25n＋nn－12(－2)＝－(n－13)2＋169.故前13项之和最大，最大值是169.用辽大教辅考名牌大学解法二：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(d＜0)．Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为9＋172，即S13最大(如下图)．求出S13.用辽大教辅考名牌大学【点评】数列是特殊的函数．以上两种解题思路均是转化为函数中求最值的方法，即利用单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等．还可根据an≥0且an＋1≤0求出n值.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习3]设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，说明理由．