平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示

OxyijaA(x,y)a两者相同3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？坐标（x，y）一一对应向量a1．以原点O为起点作OA=a，点A的位置由谁确定?2．点A的坐标与向量a的坐标有什么关系？由a唯一确定a=bx1=x2且y1=y2已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b，λa的坐标吗？两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．解：a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）a+b=（x1+x2，y1+y2）即同理可得a-b=（x1-x2，y1-y2）=（x1+x2）i+（y1+y2）j实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．λa=（λx1，λy1）．即λa=λ（x1i+y1j）=λx1i+λy1j例1如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB的坐标．OxyA(x1，y1)B(x2，y2)=(x2，y2)-(x1-y1)=(x2-x1，y2-y1)解：AB=OB-OA一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．例2已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.解：=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）例3如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，试求顶点D的坐标.yxO11ABCD解法1：设顶点D的坐标为（x，y）．(1，2)=(3-x，4-y)．1=3-x2=4-y∴x=2y=2∴∴顶点D的坐标为（2，2）．∵AB=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，DC=(3-x，4-y)，由AB=DC，得解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知∴顶点D的坐标为（2，2）．=(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)BD=BA+AD=BA+BC=(2，2)．而OD=OB+BD=(-1，3)+(3，-1)yxO11ABCD=(3，-1)，如何用坐标表示两个共线向量？a=λb．向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件是有且只有一个实数λ，使得(x1，y1)=λ(x2，y2)即x1=λx2，y1=λy2．消去λ后得：x1y2-x2y1=0．这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．则由a=λb，有时，向量a、b（b≠0）共线．例4已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.解：∵a∥b，∴4y-2×6=0.∴y=3.例5已知A(-1，-1)、B(1，3)、C(2，5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系．解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点（如下图），观察图形，猜想A、B、C三点共线．yxO1ABC又2×6-3×4=0.∵直线AB、直线AC有公共点A，∴A、B、C三点共线．∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，AC=(2-(-1)，5-(-1))=(3，6)，∴AB∥AC，例6设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；yxOPP1P2解：如图，由向量的线性运算可知所以，点P的坐标是(，)．x1+x22y1+y22OP=(OP1+OP2)=(，)12x1+x22y1+y22（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．如图，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即P1P=PP2或P1P=2PP2．12xyOPP1P2yxOPP1P2xyOPP1P2如果P1P=PP2(如图)，那么12OP=OP1+P1P=OP1+P1P213=OP1+(OP2-OP1)13=OP1+OP22313=(，)．2x1+x232y1+y23即点P的坐标是(，)．2x1+x232y1+y23同理，如果P1P=2PP2，那么点P的坐标是(，)．x1+2x23y1+2y23（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．如图，当P1P=λPP2时，点P的坐标是什么？yxOPP1P2点P的坐标是：(，)．x1+λx21+λy1+λy21+λ练习1.已知向量a、b的坐标，求a+b，a-b的坐标：a+b=（3，6）a-b=（-7，2）a-b=（7，-5）a+b=（1，11）a+b=（0，0）a-b=（4，6）a-b=（3，-4）a+b=（3，4）（1）a=（-2，4），b=（5，2）；（2）a=（4，3），b=（-3，8）；（3）a=（2，3），b=（-2，-3）；（4）a=（3，0），b=（0，4）.练习2.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)、B(3，-1)、C(5，6)，求顶点D的坐标．顶点D的坐标为（1，5）．所以2x3-6=解得x=-4．练习3.x为何值时，a=(2，3)与b=(x，-6)共线？解：由向量a，b共线得(2，3)=λ(x，-6)，如果存在，求出x、y、z的值；如果不存在，说明理由．(2，3)=x(3，1)+y(2，2)+z(-1，5)=(3x+2y-z，x+2y+5z)．则3x+2y-z=2x+2y+5z=3x+y+z=1消z得4x+3y=34x+3y=2方程组显然无解，所以不存在这样的实数x、y、z．已知a=(3，1)，b=(2，2)，c=(-1，5)，p=(2，3)，试问是否存在实数x、y、z满足下列两式：（1）p=xa+yb+zc；（2）x+y+z=1．解：由p=xa+yb+zc，得