2.4.1平面向量数量积

1Fs┓功：我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)cos||||sFW23一、平面向量数量积的定义:已知两个非零向量和，它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积),记作.abbacosbaabcos||||baba规定：零向量与任意向量的数量积为0．00a41、＂＂不能省略不写，也不能写为＂＂，数学中ab表示两个向量的向量积（或外积）2abab、表示数量而不表示向量，与实数abab不同,、表示向量；a3、若不能得出或0ba0a0b5一、平面向量数量积的定义:（性质）cos||||babaab22||)1(aa0||||)2(baba900)3(ba180||||)4(baba0baba即：1cos1||||||||)5(bababa6向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜90°时a·b0当90°＜θ≤180°时a·b0当θ=90°时a·b=0cosbaba7二、投影:B1OABbaA1OABbacosacosb叫做向量在方向上(向量在方向上)的投影.ba)cos(cosbaba8向量在方向上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？cosbbaOABab1BOABab)(1BBOAab1BOABbaOABba0cosb0cosb0cosbbbcosbbcos9cos.abaabab数量积等于的长度与在的方向上的投影数量的乘积abBAO三、平面向量数量积的几何意义:cos||bcosbaba10四、平面向量数量积的运算律:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3)分配律：abba)()()(bababacbcacba)(数量积不满足结合律和消去律)()(cbacbabacbca11221.aaaa2224.2abaabb222.ababab3.abcdacadbcbd12五、平面向量数量积的重要性质:设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则:cos1aaeea02baba判断两个向量垂直的依据同向时与当baba|,|||反向时与当baba|,|||ba//3ba132aaaa或224aaaa求向量模的依据babacos5求向量夹角的依据五、平面向量数量积的重要性质:00180,014o5,4,120例1已知与的夹角，求ababab.cos解：ababo54cos1201510()210.152(1)()()()ababab例2：求证：22.(2)()()ababab证明：aaabbabb222;aabb2222;(1)()abaabb(2)()()ababaaab+ba+bb22.ab160646023-例3已知，，与的夹角为，求()().abababab236---解：()()ababaaabbb226--aabb22cos6--aabb202664cos6064--72.1734kkk例4已知，，且与不共线，为何值时，向量+与-互相垂直？abababab0kkkk解：+与-互相垂直的条件是（+）（-），abababab=2220.k即-ab=2216因为=9，，ab=216k所以9-=0.34k所以=.34kkk也就是说，当=时，+与-互相垂直.abab18作业：习题2.4A组第1，2，4，题习题2.4B组第1题